In questo capitolo cerchiamo di andare oltre alla singola dimensione per l’analisi.

Lo spazio $\mathbb{R}^{n}$

Possiamo definire uno spazio Rn come il prodotto cartesiano fra l’insieme R un numero di volte uguale a n $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ... \times\mathbb{R} = \mathbb{R}^n$

Allora un tipico elemento in Rn è nella forma $(x_1,...,x_n)$, questo elemento si chiama punto, mentre gli elelmenti in R che costituiscono questo elemento si chiamano componenti.

Osservazione La maggior parte dei risultati che dimostro nello spazio ordinario (R3) si può dimostrare per Rn, non andiamo più nel dettaglio perché i problemi che ho in spazi maggiori sono parte di materiale per analisi 2

Operazioni definite

In modo simile a quanto definito negli Spazi vettoriali abbiamo principalmente due operazioni principali definite (in moto identico a quanto spiegato nell’altro documento) che sono:

  1. l’addizione vettoriale
  2. la moltiplicazione scalare.

In più aggiungiamo una operazione che non è presente nel documento degli spazi vettoriali ma che è importante in questo momento.

  1. Prodotto scalare euclideo, definito qui sotto

Il prodotto scalare euclideo

Dati due elementi in Rn, che chiamiamo x e y, rispettivamente di componenti $x_1, ...,x_n$ e $y_1, ...,y_n$

$$ \langle x,y\rangle = x\cdot y\coloneqq\sum_{i=1}^nx_iy_i $$

Possiamo individuare 3 proprietà principali per questo prodotto scalare (nota il significato x,y con parentesi cambia in algebra lineare rispetto a questo. (chiamo in questo caso x primo argomento e y secondo argomento).

  1. Simmetria, se scambio x con y il risultato resta lo stesso $x\cdot y = y \cdot x$
  2. Distributività (linearità del primo argomento) $\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} (\lambda x + \mu y) \cdot z = \lambda(x\cdot z) + \mu(y \cdot z)$ Utilizzando la simmetria puoi dimostrare anche la linearità per il secondo argomento.
  3. Positività del riflessivo: $\forall x \in \mathbb{R}^n , x\cdot x \geq 0$, e si può osservare che $x\cdot x = 0 \iff x = 0_v$

Prodotto scalare nella forma col coseno

Dato un elemento $x \in \mathbb{R}^{2}$, posso dire che $x = \lvert x \rvert \dfrac{x}{\lvert x \rvert}$ notiamo che il secondo fattore ha lunghezza 0, quindi possiamo scriverlo tramite una coordinata polare, qualcosa tipo $\dfrac{x}{\lvert x \rvert} = (\cos \theta, \sin \theta)$. Quindi se prendo un $x \neq 0$ possiamo dire che $x = (|x|\cos \theta, |x| \sin \theta), \theta \in \mathbb{R}$

Allora se prendo due vettori scriviamo così!

$$ x \cdot y = \lvert x \rvert \lvert y \rvert \cos \theta \cos \gamma + \lvert x \rvert \lvert y \rvert\sin \theta\sin \gamma = \lvert x \rvert \lvert y \rvert(\cos(\theta - \gamma)) $$

che è esattamente la formula che abbiamo visto alle superiori, il prodotto delle singole norme per il coseno dell’angolo fra i due.

Ortogonalità

Si può definire l’ortogonalità di due vettori a seconda del risultato del loro prodotto scalare $x,y$ perpendicolari $\implies x \cdot y = 0$ Da questo si può notare che il vettore nullo è perpendicolare a ogni vettore.

Norma di un vettore

Scopriremo in seguito che la norma è strettamente collegata con la lunghezza di un vettore, la definiamo in questo modo:

$\lVert x\rVert = \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{x_1^2 + ... + x_n ^2}$

Puoi notare come questo sia esattamente la distanza.

Proprietà

  1. $|\lambda|\lVert x\rVert = \lVert\lambda x\rVert$
  2. $\rVert x \lVert \geq 0$ e anche l’altro con 0, esattamente come per la propreità 3 del prodotto scalare vettoriale
  3. Disuguaglianza triangolare $\lVert x \cdot y \rVert \leq |x| |y|$

Normalizzazione

Per la proprietà 1 possiamo sempre normalizzare un vettore, ovvero moltiplicarlo per un reale tale che la somma dei componenti è 1. Per trovare questo valore basta trovare il valore nella norma attuale $\lambda$ e dividere ogni componente per questo valore. esempio $(3,4)$ noto che la norma è 5, quindi questo punto normalizzato è $(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$

Il quadrato della norma cerchiamo di calcolare questo valore $||x + y|| ^2$ Per definizione si ha

$$ \lvert x + y \rvert^ 2 = \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i + y_i) ^2} \right)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i) ^2 = \sum_{i=1}^n (x_i^2 + 2x_iy_i + y_i^2) = \lvert x \rvert ^2 + 2x\cdot y + \lvert y \rvert ^2 $$

Si può anche dimostrare tramite le propreità 2 del prodotto scalare e l’additività, dimostrare in questo modo per esercizio (oppure chiedere a qualcuno che era in classe).

Osservazione: Si può notare che se i due vettori sono perpendicolari si ritrova il teorema di Pitagora in quanto

$x \cdot y = 0$

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Trattiamo meglio la versione in Cauchy-Schwarz Inequality Siano x,y vettori in $\mathbb{R}^n$, allora vale che

$\lvert x \cdot y\rvert \leq \lvert x \rvert \lvert y \rvert$ dove uguale si ha sse x e y sono dipendenti. Dimostriamolo nel caso in cui n = 2, per n superiori dovrebbe essere analogo, prendiamo due valori come qui, allora ho che $\lvert x \cdot y\rvert = \lvert \lvert x \rvert \lvert y \rvert\cos(\theta - \gamma) \rvert \leq \lvert x \rvert \lvert y \rvert$ osservando il coseno, questo è sempre compreso fra -1 e 1 quindi è ovvio che sia sempre minore. ed è ovvio che sono uguali nel momento in cui coseno è 0, quindi i due vettori sono dipendenti.

Questo poi si può espandere con spazi Hilbertiani e simili, ma non li conosco bene.

Dimostrazione disuguaglianza triangolare da CS

$\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \iff \lvert x\cdot y\rvert \leq \lvert x \rvert\lvert y \rvert$ fai il prodotto e guarda i calcoli

  • Prodotto e calcoli $\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \implies \lvert x + y \rvert^2 \leq (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2 \implies \lvert x \rvert^2 + 2x\cdot y + \lvert y \rvert ^2 \leq \lvert x \rvert^2 + 2\lvert x \rvert\lvert y \rvert + \lvert y \rvert^2$ e cancellando opportunamente nell’ultimo passaggio, è banale la deduzione.

Teorema di Pitagora Anche questa è una derivazione senza molti problemi in quanto basta la forma del quadrato della norma e il fatto che sono perpendicolari per dire che è uguale a 0.

Distanza fra due punti

Possiamo definire la distanza fra due punti come la norma del vettore differenza:

$Dist(x, y) = \lVert x - y \rVert$ (il che ha senso, perché la differenza mi da un vettore differenza, mentre la norma mi da la lunghezza di questo vettore, ignorando il verso e la direzione, quindi riesco ad ottenere una distanza).

Insiemi e intorni

Intorno sferico

Andiamo a definire la nozione di intorno sferico

$I_r(x)$ è l’insieme di punti che distano al più r da x, ossia $\{y \in \mathbb{R}^n ,t.c., \lvert x - y\rvert < r\}$

Si può notare poi che questa forma dal punto di vista geometrico definisce una sfera in 3 dimensioni, un disco in 2, un intervallo in 1. Analogamente si possono definire i punti di un cerchio con più dimensioni in questo modo.

Insieme limitato

Un insieme $A$ si dice limitato se $\exists k > 0, k \in \mathbb{R},$ $A \subseteq I_k(0)$. Quindi è contenuto all’interno di una area ben definita.

Una funzione che ha dominio fino ad infinito per esempio 1/x non è limitato perché non riesco mai a rinchiuderlo, ma una macchia a caso invece si può racchiudere.

Insieme aperto

Un insieme si dice aperto se per qualunque punto esiste un contorno abbastanza piccolo che è contenuto nell’insieme (cosa che non succede per un insieme chiuso, se prendo un punto nel bordo non trovo tale intorno).

Successioni generali

Definizione

$(x_n)_{k \in \mathbb{N}}: x_k \in \mathbb{R}^n, \forall k \in \mathbb{N}$ si potrebbe quindi sempre vedere come una funzione che va da $\mathbb{N} \to \mathbb{R}^n$

Convergenza delle successioni (classica)

Una successione converge in un punto in Rn, se ogni suo componente tende alla componente corrispondente del punto di convergenza.

Es, suppongo che f tenda a un $x_0, y_0$ allora voglio dire che il limite per x tende a x0, anche limite per y tende a y0.

Convergenza secondo distanza

Se si utilizza la convergenza secondo la nozione di stanza, allora questo assume una forma molto simile alla nozione di convergenza per i numeri reali.

$x_k \to x \in \mathbb{R}^n \iff \lvert x_k - x\rvert < \epsilon, \forall \epsilon >0$ ossia quella distanza tende a 0.

Funzioni con più variabili

Definizione

$A\subseteq \mathbb{R}^n , B \subseteq \mathbb{R}^n, f: A \to B, ,,Graf(f) = \{(x, f(x)) \in A \times B \}$ quindi alla fine è sempre la classica definizione di insieme, ma con dominio e codominio diversi

$Im(f) = (f(x) | x \in A)$

Categorie di funzioni

Funzioni scalari $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

Funzioni curve o cammini $\mathbb{R} \to \mathbb{R} ^n$

Continuità

$\forall (x_k)_{k \in \mathbb{N}} x_k \to x, \text { si ha che } f(x_k) \to f(x)$ rispettivamente utilizzando i domini e codominio corretti (questa sarebbe anche una definizione utile per la continuità normale, ma stiamo utilizzando l’equivalenza che ci danno le successioni).

tutte le funzioni elementari sono continue (come le hai sempre viste)

Possiamo anche scrivere una funzione di continuità utilizzando gli intervalli (praticamente uguale a quella classica):

$f: A \to B$ è continua in $\bar{x}$ se ho che $\iff \forall \epsilon > 0\exists \gamma >0 t.c. \lvert f(y) - f(\bar{x}) \rvert < \epsilon, \text { con } x\in A \lvert x - \bar{x} \rvert < \gamma$

OSSERVAZIONI

si dimostra che tutti gli insiemi definiti con disuguaglianze strette sono aperti.

ovvero $f_1,...f_n$ una successione di funzioni $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, continue si ha che $A = \{x \in \mathbb{R}^n \mid f_1(x) > c_1, ..., f_n(x) > c_n\}$ si ha che A è aperto per questo teorema che non si dimostra nel nostro corso, però si ha che è vero.

Funzione radiale

Una funzione si dice radiale se $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} t.c. \exists g: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ tale che $f(x,y) = g(\lvert x,y\rvert)$

Intuizione

Ovvero possiamo dire radiale se possiamo scriverlo solo in funzione dalla sua distanza dall’origine (spesso sono superficie di rotazione)

Di solito è comodo avere queste funzioni perché mi semplificano subito l’analisi.

Altro esempio: $f(x,y) = e ^{-(x^2 + y^2)} \implies g(t) = e ^{ -t^2}$ che basta disegnare g e poi ruotarlo sull’asse delle y.

Insiemi di livello

Dato un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^2$ e una funzione $f: A \to \mathbb{R}$ e dato un punto $b \in \mathbb{R}$ allora si dice insieme di livello $b$ di $f$ l’insieme $L_b = \{ (x, y) \in A \mid f(x,y) = b\}$ in pratica è la pre-immagine della funzione (come se fosse $f^{-1}$).

Quindi la stessa cosa in una dimensione, ma col nome diverso, perché dal punto di vista livello, l’insieme di livello è come un taglio del dominio verso un certo punto.

Di solito si trova una curva di livello, una curva lineare che rappresenta questo insieme (percorrendo questo punto, il valore in output resta lo stesso, come se mi stessi muovendo parallelamente a una montagna senza salire e senza scendere.

Piani

I piani sono nella forma $f(x,y) = ax + by + c$, è abbastanza ovvio, perché in R2 rappresenta una retta, se ho una retta ma posso variare z come mi pare, allora ovvio che si ha il piano…