Autovalori e Autovettori

Ha senso solamente parlare di autovettori quando si ha una applicazione lineare con stesso dominio e stesso codominio.

Vorremmo trovare una buona matrice che sia diagonale.

6.1 Diagonalizzabilità

6.1.1 Definizione per funzione e matrice

Questo perché vorrei una base in cui si abbia un matrice diagonale. (quindi probabilmente P è una matrice identità).

Perché ci piacciono le matrici diagonali

Se ho una matrice diagonale, si ha che l’applicazione lineare è un semplice scaling dei vettori della base.

6.1.2 Matrici simili

Date due matrici in uno spazio vetoriale con le matrici, allora se esiste un P nello stesso spazio tale che $B = P^{-1}AP$ si dicono simili (in pratica fare uno scambio di base).

Osservazione 1

Posso dimostrare che la matrice $A_{ee'} \sim A_{bb'}$ associata a una funzione, sono simili per il teorema del cambio di base di sopra

Osservazione 2

La simile, è una relazione di equivalenza (riflessività, simmetria e transitività)

6.1.3 Diagonalizabilità di una matrice quadrata

Si può dire che una matrice quadrata A è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale

(Anche la definizione di sopra è uguale (equivalente).

6.1.4 Equivalenza della diagonalizzabilità funzionale e matriciale (9.1.4)(!!!)

Si ha che una funzione F e la sua matrice associata.

Allora F diagonalizzabile SSE la sua matrice associata è diagonalizzabile.

• Dimostrazione

  $\implies$Supponiamo che la funzione sia diagonalizzabile, allora ho una base per cui si ha una matrice diagonale.

  A questo punto utilizzo il teorema del cambio di base per costruirmi la P voluta per la diagonalizzabilità (o avere una matrice simile) e ciò finisce.

  $\impliedby$ Supponiamo che si abbia una matrice diagonalizzabile, allora abbiamo una matrice P che mi dia una matrice diagonale.

  Lemma: le righe di P sono linearmente indipendenti. Si dimostra per il teoremone (l’esistenza dell’inversa, implica che è associata a una funzione bigettiva, che implica che le colonne sono indipendenti).

  Considero le colonne di P, queste sono N vettori indipendenti che fanno quindi span sullo spazio vettoriale Rn. Ma allora P è proprio $I_{be}$ con b la base definita dalle colonne!

  E quindi ho trovato la base per la funzione tale che sia diagonale, quindi la funzione è diagonalizzabile.

6.1.5 Condizione di diagonalizzabilità (!!!!) ⭐

Si può dire che una funzione F sia diagonalizzabile sse esiste una base di Rn costituita da autovettori di F

La dimensione delle due frecce è identica (almeno le tecniche lo sono)

• Dimostrazione

  $\impliedby$Sia una base di Rn costituita da autovettori della F. Allora la matrice associata a questa funzione è una matrice diagonale per questa base (bisogna fare un pò di conti).

  $\implies$Sia b una base tale che la matrice associata alla funzione sia diagonalizzabile, allora ho una base per cui la funzione è diagonale. Elimino questo esiste con la base beta, voglio dimostrare che siano autovettori.

6.2 Calcolo degli autovettori e autovalori

6.2.1 Autovalore 0 e kernel (!)

$Ker F \neq 0_v \iff F$ ha autovalore $0$

• Dimostrazione

  $\implies$ supponiamo che $v \neq 0_v, v \in Ker F$ allora $F(v) = 0\cdot v = 0$, ossia 0 è un autovalore.

  $\impliedby$Supponiamo che 0 sia un autovalore, allora esiste un autovettore (per definizione diverso da 0) allora esiste un elemento diverso da 0 nel kernel, e quindi non è iniettiva per una proposizione precedente

6.2.2 Polinomio caratteristico

Nota: si ha che se ho una matrice n x n il polinomio caratteristico ha grado n.

6.2.3 Autospazio e Polinomio caratteristico (!!!)

L’autospazio per un certo autovalore è questo insieme

$V_\lambda = \{v \in \R^n | F(v) = \lambda v\}$, ossia è l’unione dei autovettori con lo zero.

Proposizione:

$V_\lambda = Ker(A - \lambda I)$, con il kernel della matrice definita come le soluzioni del sistema lineare omogoneo associato ala matrice (che poi è uguale al concetto della funzione).

• Dimostrazione

  $\implies$Sappiamo che $V_y$ è l’insieme degli $x \in R^n| Ax = \lambda x$ con A la matrice associata la nostra funzione. Vogliamo dimostrare che se $x \in V_\lambda$ allora appartiene al kernel, il che è abbastanza ovvio per la proprietà distributiva della moltiplicazione matriciale.

  $\impliedby$Se si ha un v appartenente al kernel, allora poi si ricava (aggiungendo e sottraendo una parte) che $Ax = \lambda x$ che è proprio la condizione sufficiente per appartenere all’autospazio

6.2.4 Polinomio car per Matrici simili (no chiede)

Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, questo si dimostra con distributività e associatività della moltiplicazione matriciale.

• Dimo

  $A - \lambda I = P^{-1}BP - \lambda I = P^{-1}BP - P^{-1}P\lambda I = P^{-1}(B - \lambda I) P$

6.2.5 Condizione dell’autovalore (!!!)

• Dimostrazione

  $\iff$Se $\lambda$ è un autovalore, allora ho un autovettore che appartiene all’autospazio relativo.

  Vogliamo che l’autospazio è diverso da 0, questo è vero sse il sistema lineare (A - lambdaI)x = 0 ha una soluzione non nulla, allora per il teoremone, questo è vero sse il determinante della matrice è uguale a 0. quindi sse lambda è uno zero della nostra matrice.

6.3 Molteplicità e autov{ettori, alori}

6.3.1 Autovalori diverse fanno autovettori indipendenti (no chiede)

Si dimostra in modo induttivo, partendo da un unico vettore che è necessariamente indipendente, saltando per il passo induttivo e finire.

6.3.2 Molteplicità geometrica ed algebrica

• DOmanda da fare alla marta

  Il fatto che la moltiplicità geometrica è minore o uguale alla molteplicità geometrica potrebbe essere insito nel polinomio caratteristico.

  Perché al massimo (è da dimostrare) che il grado del polinomio caratteristico è N, che è anche la dimensione della molteplicità geometrica???

6.3.3 Moltiplicità geometrica ≤ Molteplicità algebrica (no chiede)

6.3.4 Diagonalizzabilità per somma di M-algebrica (no chiede)

Si può dimostrare che è un sse. e deve essere che le molteplicità algebriche e geometriche siano entrambi uguali.

• Dim-libro

  !

Autovettori

gli autovettori sono i vettori di Ax che sono nella stessa direzione di x.

Possiamo scriverlo come $Ax = \lambda x$ e ho che lambda è un autovalore

Sembra che

1. La somma degli autovalori è uguale alla somma delle diagonali
2. Una matrice di dimensioni n n ha n autovettori

Autovettori e autovalori di proiezione

Nell’esempio di una proiezione, un autovettore sarebbe stato $x_{a}$ in quanto sarebbe già nello spazio colonna in arrivo, quindi non viene proprio modificato.

Ma non solo questi sono degli autovettori, ma anche i vettori che sono perpendicolari (hanno autovalore 0, perché vengono totalmente distrutti).

Così abbiamo trovato gli autovalori per una matrice di proiezione che sono 0 e 1

La ricerca di autovettori: equazione dell’autovalore

Possiamo riscrivere l’equazione in questo modo:

$$ (A - I\lambda)x = 0 $$

Quindi stiamo cercando soluzioni nello spazio nullo di una nuova matrice, che è interessante solamente se questa matrice è singolare, ossia che abbia una determinante uguale a 0

Cerchiamo le soluzioni di $\det (A - I\lambda) = 0$ per lambda i una nuova matrice, che è interessante solamente se questa matrice è singolare, ossia che abbia una determinante uguale a 0

Cerchiamo le soluzioni di $\det (A - I\lambda) = 0$ per lambda

This theorem is also sometimes called the Caley-Hamilton Theorem. See this chatgpt response.