10.1 Derivata parziale

La derivata vuole descrivere quanto varia una funzione al variare dell'input. Ma ora siamo in più dimensioni, quindi vogliamo descrivere il variare dell'input come il variare della distanza euclidea

ovvero sto facendo variare solamente una variabile (la y in questo caso è come se fosse una costante!?) Questo è un rapporto incrementale su una direzione.

Se esiste il limite, è la derivata parziale rispetto a x.

In modo analogo puoi definire una derivata parziale rispetto a y

10.1.1 Gradiente

Se vogliamo considerare allo stesso momento la derivata parziale per ogni componente, possiamo farlo considerando un unico simbolo: (indica il gradiente della funzione).

Se in ogni punto è derivabile allora possiamo proprio definire una funzione gradiente di questa, nel modo di sopra.

Questa definizione si può estendere per uno spazio n-dimensionale

10.1.2 Legame con la continuità

Si ha una relazione molto simile con la derivata a singola dimensione (cazzo non mi ricordo bene la dim????)

se è derivabile in allora è continua in in R normale, ma se a più dimensioni avessimo le derivate parziali non abbiamo la continuità in quel punto.

EG

\dfrac{xy}{x^2 + y^2} \text{ se diverso dall'origine }\\ 0 \text { altrimenti } \end{cases}$$ in questo esempio entrambe le derivate parziali in (0,0) esistono, ma non è continua in questo punto (tende a +- infinito in questo punto). - Analisi della funzione sopra Si può dimostrare che la funzione di sopra ha entrambe le derivate uguali a 0 quando tende a 0. (applicare la definizione di derivata parziale). Dimostriamo che non è continua in (0,0) ovvero esiste una successione che tende a 0, ma non vale la definizione di continuità, ovvero non vale che $f(a_n, b_n) \to f(0,0) = 0$. Scegliamo la successione simile: $(a_n,b_n) = (1/n, 1/n)$ che ovviamente tende a 0. Ma . ```haskell (1/n * 1/n) / (2/(n*n)) != 0 ``` Quindi questa successione tende a 2, mentre dovrebbe tendere a 0. Un caso patologico di continuità, ma che comunque da l'idea di questo. ### 10.1.3 Derivabilità e differenziabilità (intuizione) Si ricordi la definizione di derivata in $\R$. [[Derivate]]. Si ricordi anche come si è ricavata l'approssimazione con serie di taylor e gli o-piccoli in [[Hopital, Taylor, Peano]] Per descrivere la nozione di derivabilità vogliamo ricondurci a una formula di Taylor per il primo grado. (perché nelle derivate parziali sappiamo quando varia in due direzioni, ma mancano informazioni su quanto varia in tutte le direzioni, ed è per questo motivo che non ho la continuità). Vorrei considerare un limite simile a $f(x + h, y+ h) - f(x, y)$, che possiamo riscrivere in forma vettoriale $f((x + y)+ (h,k)) - f(x,y)$ e ricondurci a una forma di approssimazione con taylor. **Def o-piccolo a più dimensioni:** $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ si dice che $g(h,k) = o(\lvert(h,k)\rvert)$ se ho che $\lvert g(h,k)\rvert/ \lvert (h,k)\rvert < \epsilon$ , con $0< \lvert(h,k)\rvert < \delta$ per ogni epsilon maggiore di 0, quindi considero la norma (che mi da una nozione di distanza). Ma i concetto di o-piccolo è ancora ben presente. Possiamo anche scrivere la stessa definizione utilizzando le successione. - Come qui ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled.png]] Avendo questa nozione di approssimazione per taylor, posso dare una nozione di differenziabilità. In questo modo riesco a dare una nozione di funzione che tende a zero più o meno velocemente della norma. (o potenze di esse). ## 10.2 Differenziabilità Questa è la condizione molto più forte rispetto alla derivata, è il concetto che ci permette di avere subito la continuità. La differenza principale con la derivata è che qui **non consideriamo una unica direzione** cerchiamo di prenderle tutte. Andiamo ora a vedere come definire questo fatto. ### 10.2.1 La funzione differenziabile Sia $f$ una funzione da $A \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto da $f: A \to \mathbb{R}$. Si dice che la funzione $f$ sia differenziabile se: 1. Esistono le derivate parziali per tutte le direzioni. 2. Se vale

f((x + h, y + k)) = f((x, y) + (h,k)) = f(x,y) + \langle\nabla f(x,y), (h,k)\rangle + o(\lvert h,k \rvert )

Possiamo scrivere questa cosa con una altra notazione equivalente: $f(x, y) = f(\bar{x}, \bar{y}) +\langle\nabla f(x,y), (x - \bar{x},y - \bar{y})\rangle + o((\mid x - \bar{x},y - \bar{y} \mid)$ con $(x,y) \to(\bar{x}, \bar{y})$ E questo assomiglia di più rispetto al polinomio di taylor, perché effettivamente qui si ha l’approssimazione in bella vista. Andiamo ora a dare una intuizione sul perché vogliamo la seconda condizione. **Intuizione del punto 2** Non stiamo facendo altro che dare la formula di Taylor del primo ordine (vedi [[Hopital, Taylor, Peano]]) sul punto (x, y) ma lo stiamo considerando a più dimensioni. Quindi, ricordando che l’espansione con le serie di taylor ci permetteva di fare una approssimazione, questa condizione per il punto 2 non è altro che una approssimazione al variare in una qualsivoglia direzione. ### 10.2.2 Polinomio di taylor del primo ordine

T_1(x,y) = f(\bar{x}, \bar{y}) +\langle\nabla f(x,y), (x - \bar{x},y - \bar{y})\rangle

undefined

\lim_{t \to 0} \dfrac{f((a,b) + tv) - f(a,b)}{t}

In pratica stiamo andando in una direzione scelta di v. (da notare infatti che se preso il vettore in una direzione parallela alla base canonica, allora ho le derivate parziali). **Osservazione 2** Posso creare una funzione ausiliaria, e vedo che la derivata direzionale è uguale alla derivata (normale 1-variabile) della funzione ausiliaria: $g(t) = f(a + tv_1, b+ tv_2)$ Si nota che $D(g(t)) = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(h) -g(0)}{h} = \dfrac{f(a + tv_1, b+ tv_2) - f(a, b)}{h}$ ### 10.3.2 Formula del gradiente (!!!) Presa una funzione differenziabile con dominio opportuno e codominio R2, e un vettore in R2, possiamo definire con precisione la derivata direzionale su questo vettore in particolare è: $\dfrac{\delta f}{\delta v} (a,b) = \langle \nabla f(a,b), (v_1,v_2)\rangle$ **Osservazione** Questa è una cosa forte, perché mi dice che se conosco le derivate parziali riesco a trovare il valore della derivata in qualunque direzione. Ma da notare che deve essere *differenziabile!*. - Dimostrazione $$ f(a + tv_1, b+ tv_2) - f(a, b) = \langle\nabla f(a,b), tv\rangle + o(\lvert tv \rvert) $$ Questo vale per la formula di Taylor, noi siamo però interessati al limite, quindi siamo interessati a questo: $$ \lim_{t \to 0} \dfrac{ \langle\nabla f(a,b), tv\rangle + o(\lvert tv \rvert )}{t} $$ Ed è abbastanza ovvio che la soluzione di questo limite è $\langle\nabla f(a,b), v\rangle$ (basta portare fuori la t e dividerla con la t di sotto), mentre l'o-piccolo tende a 0 per definizione di o piccolo. ### 10.3.3 Direzione massima e minima di crescita (!!) Il problema corrente è stabilire la direzione massima di crescita per una funzione differenziabile definita in dominio di dimensione maggiore di 0. Dato il gradiente (consideriamo questo diverso da 0 perché nell'altro caso è qualcosa di abbastanza banale). Se è diverso da 0, posso allora normalizzare il vettore (e scriverlo con coordinate polari in un modo simile a quanto fatto in [[Analisi multi-variabile]].

\nabla f(a,b) = \lvert \nabla f(a,b) \rvert \cdot (\cos\theta, \sin \theta)

undefined

\langle \nabla f(a,b), (\cos\gamma,\sin\gamma)\rangle = \lvert \nabla f(a,b) \rvert \cdot \cos(\theta - \gamma)

Che è massima quanto il valore nel coseno è 1 (coseno 0), minima quando è 0. Ma esiste solamente un unico vettore unitario per cui succede, questa è la direzione che rende massima la derivata. dunque $\theta = \gamma$ e quindi

v_{max} = \dfrac{\nabla f(a,b)}{ \lvert \nabla f(a,b) \rvert }

\langle \nabla f(a,b), v_{max})\rangle = \mid\nabla f(a,b)\mid

## 10.4 Derivate di curve Consideriamo le curve (anche chiamati cammini in Rn) Due funzioni 1. Scalari da Rn a R 2. Cammini parametrizzati (da un sottoinsieme di ab a Rn) In seguito saranno utili per comprendre gli insiemi di livello di f. ### 10.4.1 Cammini I cammini sono una funzione da R a Rn. Sono utili in fisica per descrivere il concetto di percorso (traiettoia) e simili **Velocità di un cammino** possiamo definire una dimensione di velocità di un cammino in questo modo: ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 6.png]] **Nota:** non è il gradiente, perché qui la derivata è una sola, solo per funzioni differenti. Quella derivata (il vettore) è **velocità al tempo t**. ### 10.4.2 Nozioni di fisica (velocità e accelerazione) **Velocità scalare:** ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 7.png]] Quando la derivata è nulla in tutti i punti si dice che quel punto della traiettoria è un **punto singolare** **Accelerazione:** ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 8.png]] ### 10.4.3 Taylor per curve ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 9.png]] - Altro ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 10.png]] ### 10.4.4 Derivata lungo una curva (!!) ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 11.png]] - Introduzione intuitiva della derivata ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 12.png]] ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 13.png]] Come si nota, la curva non è detto che sia derivabile, quindi prima la parametriziammo, e poi calcoliamo la derivata della funzione composta, e nient’altro. ### 10.4.5 Ortogonalità del differenziale (!) ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 14.png]] - Dimostrazione veloce veloce ![[image/universita/ex-notion/Calcolo differenziale/Untitled 15.png]] ### Calcolo di queste derivate (idea) Se dobbiamo calcolare qualcosa di complesso, tipo f una funzione differenziabile, e voglio la derivata di $f(h_1(s),..., h_n(s))$ posso crearmi una funzione di appoggio, che possiamo anche chiamare la **parametrizzazione della funzione** come $r(s) = (h_1(s),...,h_n(s))$ e calcolarmi la derivata di $f(r(s))$ che abbiamo discusso sopra, alla fine avrò qualcosa del tipo $\delta_{e_1}f(r(s))\delta_s(h_1(s)) + ... + \delta_{e_n}f(r(s) \delta_s(h_n(s))$