Vogliamo in questa sezione andare ad indagare la costruzione di funzioni che passano in tutti i punti che vogliamo, appunto interpolare. La funzione è molto simile alla regressione trattata in Minimi quadrati (con il metodo della regressione, chiamato anche approssimazione ai minimi quadrati).
Quindi mentre la precedente voleva andare a minimizzare l’errore, questo attuale va a creare proprio da 0 la funzione che ci passa sempre.
Introduzione
Andremo a creare una funzione f tale che per ogni x in input si abbia esattamente la y in output
Metodi di interpolazione (3)🟩
In questo corso utilizzeremo solmanete l’interpolatore polinomiale!
Interpolazione polinomiale
Enunciato e unicità🟩
- Enunciato
Da notare che il grado della funzione è esattamente il numero delle y.
- Dimostrazione dell’unicità
Polinomi di Lagrange e costruzione🟩
- Costruzione del polinomio di interpolazione
In soldoni, mi sto costruendo molteplici funzioni che nel mio punto assumono il valore che voglio e in tutti gli altri punti sono nulli. Costruisco n funzioni per gli n input e li sommo assieme. Questa funzione qui mi basta per interpolare il tutto.
Importante in questa sezione capire cosa è la notazione.
$\varphi_k(x_i)$ è il polinomio di lagrange che per xi, con i = k è 1, altrimenti è 0.
In particolare è costruito in questo modo:
$$ \varphi_k(x) = \prod^n_{j =0, j\neq k} \frac{x - x_j}{x_k - x_j}, \forall k \in \{0, ..., n\} $$$\Pi_n(x)$ è la funzione di interpolazione costruita come
$$ \Pi_n(x) = \sum_{i = 1}^n y_i \varphi_i(x) $$Teorema del resto d’interpolazione🟥
- Slide della prof
Note e osservazioni Faccio finta di prendere i punti da una funzione già esistente e voglio in questo caso cercare di valutare quanto buona sia l’interpolazione.
la funzione più a destra mi dà una stima dell’errore della funzione di interpolazione.
Esempio funzione di runge Questa funzione mostra come con l’aumentare del grado del polinomio, la precisione del polinomio di interpolazione non aumenta, anzi diminuisce! L’errore cresce con più punti.
Ad intuito la funzione d’interpolazione oscilla, se ho un insieme di punti equidistanti non gli sto dando spazio per oscillare indietro.
- Esempio grafico runge
Nodi di chebicheff🟥
Questo è un modo intelligente per prendere i nodi, in modo che si risolva il problema dell’equidistanza e dando al poliminio spazio (non so poi perché dargli spazio risolva ciò).
Con n → inf, l’errore tende a zero! Quindi la convergenza dell’interpolazione DIPENDE DAI PUNTI scelti. (questo chiaramente non va sui dati random che troviamo in ambiente, quindi è molto inutile il metodo dell’interpolazione per altra roba, inoltre staremmo seguendo il rumore dei dati).
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Slide nodi di chebicheff-Gauss-Lobatto
Interpolazione a tratti 🟩
Dato che non ci conviene di interpolare troppi punti vogliamo spezzare l’interpolazione a tratti! E inoltre per avere una regolarità impongo uguaglianza delle derivate 1 e 2 evitando spigoli nelel funzioni finali.
Ma questo è quanto ci vuole insegnare a riguardo la prof. quindi mi fermo in questo punto per questi appunti.