Introduzione algebra

Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti, quindi potresti saltarla totalmente

Equazioni lineari

L’obiettivo dell’algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a definire meglio cosa è una equazione lineare

Definizione

Una equazione lineare è una equazione a coefficienti appartenenti a un certo campo (che può essere R) e incognite il cui grado è 1 e che siano indipendenti:

es.

$$ a_1x_1 + a_2x_2 +...+a_nx_n=b $$

lo puoi considerare come una equazione lineare, mentre cose come

$$ \begin{cases} x^2 = 2 \\ xy = 2 \\ \end{cases} $$

Non lo sono.

Equivalenza e compatibilità

Equivalenza: due sistemi sono equivalenti quanto hanno le stesse soluzioni

Compatibilità: Un sistema si dice compatibile quando ammette soluzioni

Soluzione di una equazione lineare

Una soluzione di una equazione lineare a n variabili, è una n-tupla di valori ordinati che soddisfano l’equazione. La cosa che ci interesserà sarà la soluzione di un sistema di equazioni lineari ovvero tante equazioni lineari che vogliono essere tutte soddisfatte allo stesso momento.

Proprietà dell’uguaglianza

È molto importante per comprendere le equazioni comprendere le due proprietà dell’uguaglianza che si studiano di solito alle medie.

Sono due, una per la somma e una per la moltiplicazione scalare.

1. Somma: Data una eguaglianza a = b, questa è uguale sse per ogni c, c + a = c + b.
2. Moltiplicazione scalare: Data una eguaglianza a = b, questa è uguale sse per ogni c si ha ca = cb (la prof ha tolto il caso in c = 0)

Le matrici

Definizione

Potremmo definire la matrice solamente come una tabella che contiene dei numeri, a volte nemmeno si dà il nome di tabella, ma solamente come una collezione indicizzata di coefficienti.

potresti definire matrice così $M = (a_{ij})_{nm}$

In genere una matrice di dimensione nxm si scrive in notazione sul campo su cui è definito, per esempio

$M_{n \times m}(\R)$, se è quadrata di solito si sottindende l’altra dimensione e si scrive $M_n(\R)$.

Vettori riga e colonna

Si potrebbero definire dei vettori riga e colonna a seconda delle dimensioni della matrice: di dimensione $1\times n$ sono vettori riga di dimensione $n\times_{1}$ sono vettori colonna Questi vettori sono importanti poi per scomporre la matrice, quindi ora basta tenerli a mente

Costruzione della somma e prodotto scalare

Possiamo sempre fare la somma di due matrici con le stesse dimensioni definite sullo stesso campo.

Somma Infatti se prendiamo A e B , la matrice somma C è la matrice costituita dalla somma elemento per elemento (somma per indici corrispondenti).

Scalare Per il prodotto scalare moltiplichiamo ogni elemento della matrice per quel coefficiente.

Prodotto matriciale

Questo prodotto fra matrici è più complessa rispetto alla somma e il prodotto. (È utile perché le matrici rappresentano una trasformazione nello spazio, questo prodotto rappresenta la composizione fra le funzioni che rappresentano).

Tratto da wikipedia

Quindi vogliamo avere che il numero delle colonne del primo sia uguale al numero delle righe del secondo. Questo è soddisfatta questa condizione possiamo sempre fare la moltiplicazione. Lo facciamo così, consideriamo il risultato fra il prodotto del vettore riga i con il vettore colonna j, questo è un prodotto scalare, che mi restituirà un unico numero, questo è il valore di $c_{ij}$

Proprietà:

Si può dimostrare che il prodotto fra matrici gode della proprietà

1. Associativa
2. Distributiva

Non è commutativa!

Transposizione

Si può definire una matrice trasposta, bisogna scambiare gli indici associati. Es:

$(A^T)_{ij} = (A)_{ji}$ con i, j gli indici della matrice

Matrici a scala

Matrice a scala: Si ha quando considerando il primo elemento non nullo partendo da sinistra, sotto di questo sta uno 0, e eementi a sinistra di questo sono nulli ( o niente), partendo a contare dall’alto.

Matrice associata a un sistema

Si può associare una matrice a ogni sistema lineare, come in figura.

• Dal libro

  

Notare il significato di matrice completa o incompleta presente nella slides

Costruendo la matrice associata completa, dobbiamo distinguere fra la matrice delle incognite, dei coefficienti e dei termini noti

Pivot e RR

Pivot: per ogni riga, il primo valore da sinistra per cui non è nullo, è il valore di pivot

Rango righe: il rango righe di una matrice a scala è il numero di pivot totale, si indica spesso con $rr_a()$ questo determina anche una dimensione dello spazio vettoriale o simili, li vedi in Spazi vettoriali

Risolvere una matrice a scala

Quando ho una matrice a scala diventa molto semplice risolvere il sistema per sostituzione.

Riesco subito a determinare se la matrice ha soluzione finita, infinita e simili. (è una cosa pratica quindi non ti metto appunti qui).

Per avere in generale un feeling generale su questo:

1. $rr(A) = rr(A|b)$ una sola soluzione
2. $rr(A) < rr(A|b)$ impossibile
3. $rr(A) > rr(A|b)$ infinite soluzioni con certe variabili libere

Operazioni elementari (3)

Possiamo agire sul sistema (e quindi anche sulla matrice associata al sistema) con certe operazioni che mi cambiano la matrice ma non cambiano la soluzione del sistema

1. Scambio posizione riga di due equazioni
2. Moltiplicazione per un numero reale diverso da 0 (deriva dalle proprietà dell’uguaglianza descritto in precedenza)
3. Sommare (o sottrarre) una riga all’altra. (quindi unendola alla 2 posso farlo con una riga scalata)

Trasformazione in matrice a scala

Data una matrice normale possiamo sempre trasformalo in matrice a scala

Una volta ottenuta questa matrice possiamo andare ad analizzarla con il rango righe come sopra

Sistema omogeneo

Un sistema di equazioni si dice omogeneo quando i termini noti sono tutti 0. Questo sistema ha sempre almeno una soluzione la soluzione banale tutti 0.