Note:

Questo corso è troppo astratto. Più che probabilità tratta di teoria della Misura. Quindi affossato…

Link della serie: https://www.youtube.com/watch?v=172m7qVy_FQ&list=PLrb6X_RiBI94b6dzCx-QwM-r0aZpJyPxS

Campo (di probabilità)

Nota:

2 e 3 ⇒ 4

2 e 4 ⇒ 3

Quindi 3 e 4 sono interscambiabili, e si potrebbe eliminare uno dei due.

Anche il fatto che il vuoto sia presente in F si può omettere. combinando 1 e 2 ottengo il vuoto (complementare dell’insieme che prenda tutto).

NOTA: SIGMA FIELDS se soddisfa il criterio sotto al 4.

NOTA: per insiemi finiti sigma-f = f

• Esempi:

  

  Sono tutti dei $\sigma -fields$

  L’ultimo caso è difficile da descrivere… Devi utilizzare demorgan.

Lemma intersezioni di sigma-fields

Ossia da verificare i 3 punti per dire che è un sigma field

Sigma fields generated by sets

Si può vedere che questo field sono sempre presenti $\Omega$ e vuoto. e per il lemma precedente tutti i Sigma-fields che hanno $\epsilon$ è un sigma field.

• Dimostrazione costruttiva

  

Dobbiamo ora dimostrare che sia unico. (si può dire che l’intersezione sia unica??? se sì allora ez).

• Esercizio

  

Borel sigma-field

NOTA: intersezione di invervalli aperti può comportare un intervallo semi aperto (eg $1/n$ e -1, questi l’intersezione infinita di questi intervalli è $(-1, 0]$

Borel Field

Riusciamo a dare una struttura sul campo di Borel, riuscendo in questo passo a dimostrare che l’insieme così costruito non è altro che l’insieme di Borel.

Semi-algebra di insiemi

• Proof

  

Finitevely additive measures and semi-algebras

Stieltjes (pre_measures) on Borel sets R

Main observation:

Measure space

• Examples

  

Set of measure functions

• Example

  

3 basic properties of Measures

Premeasure, finitely-additive Measures)

Motivazione

È difficile costruire delle misure complete su $\sigma$ fields, soprattutto se è un campo non numerabile. Per questo motivo vorremmo utilizzare nozioni più deboli di misura e da quelle estenderle anche a questi campi, più difficili da trattare. Quindi andiamo a costruire pre-misure e finitely-additive measures. QUesta sezione è II, 5.2.1 nel driver del corso su youtube.

Definizione: Una coppia $\Omega, \mathcal{A}$ è uno spazio di pre-misura se $\mathcal{A}$ è un campo su $\Omega$. (non abbiamo più bisogno che sia un $\sigma$ campo), solo che sia chiuso sotto unione e differenza.

Una funzione countably additive (Ossia che valga che $\left\{ E_{i} \right\}_{i=1}^{\infty} \in \mathcal{A} : \cup_{i=1}^{\infty}E_{i} = E \in \mathcal{A} \implies \mu(E) = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(E_{i})$$\mu: \mathcal{A} \to [0, \infty]$) è una premisura Se assumiamo che $\mu$ sia solamente finitely-additive allora la chiamiamo finitely-additive measure.

Per fare una pre-misura basta un campo, non un sigma-campo, quindi è molto più facile da costruire.

F-A measures is premeasure iff countably sub-additive

Questo permette di passare da finitely-additive measures a pre-misure senza troppi intoppi.

• Proof

  

Stiljes premeasure on borel field

• Proof

  

Measure extension Theorem

• Sigma finite

  

  Esempio quelle di probabilità che sono sempre finite

• Example non-uniqueness of extensions(not done, ma esistono se non è sigma finito)

Carathéodorýs Extension

• Cose da provare

  

• Proof

  

Outer measures

Abbiamo visto alcune proprietà importanti da dover verificare per la dimostrazione che $\rho*$ sia una misura, queste caratteristiche si possono estendere per qualunque cosa quindi ha senso definire una altra misura in questo senso:

• Su caratheodory

  

• Ogni misura $v$ che estende la premisura $\mu$ vale che $v \leq \mu *\, su \, \sigma(A)$ (largest extension)

  

• Other OuterMeasure properties with premeasure spaces