Gli isomorfismi sono delle proprietà fondamentali per stabilire una sorta di equivalenza fra i gruppi. Utilizziamo questi isomorfismi per parlare della stessa cosa ma in modi diversi.
3.1 Introduzione
3.1.1 Definizione
Un gruppo si dice isomorfo rispetto ad un altro gruppo se, in paroloni semplici, esiste una funzione bigettiva tale che preservi l’operazione del gruppo.
In altre parole
$$ \phi:A \to B,\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) $$3.1.2 Step di dimostrazione
Esiste un modo preciso per dimostrare se due gruppi sono isomorfi. In particolare:
- Trovare la funzione per l’isomorfismo
- Dimostrare che è iniettiva
- Dimostrare che è suriettiva
- Dimostrare che preserva la struttura del gruppo
3.2 Ogni gruppo è in isomorfismo con un gruppo di permutazione
Questo è uno dei teoremi principali per classificare i gruppi
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Dimostrazione (left cosets as permutation groups)
3.2.1 Note storiche su questo teorema
Storicamente parlando si è iniziati a studiare la teoria dei gruppi dal punto di vista delle permutazioni, questo teorema è ciò che ha permesso una maggiore astrazione rispetto al concreto gruppi delle permutazioni, permettendo lo sviluppo di questo campo in modo tale.
3.3 Proprietà dell’isomorfismo sugli elementi
Abbiamo una unica slide che riassume tutte le proprietà. Non dovrebbe essere molto difficile dimostrare il tutto.
3.3.1 Preservazione dell’elemento neutro
3.3.2 Preservazione della potenza
3.3.3 Coimplica la commutatività
3.3.4 Coimplica la ciclicità
3.3.5 Stesso ordine
3.3.6 Preservazione del n_sol per equazioni del gruppo
3.3.7 Preservazione dell’ordine degli elementi
3.4 Proprietà dell’isomorfismo sui gruppi
3.4.1 La funzione inversa è un isomorfismo
3.4.2 Coimplica abelianità
3.4.3 Coimplica la ciclicità
3.4.4 L’immagine di un sottogruppo è un sottogruppo (del gruppo di arrivo)
3.5 Automorfismi
3.5.1 Definizione
Un automorfismo di gruppo è solamente un isomorfismo con una funzione che parte da sé ed arriva a sé stesso.
Un esempio di automorfismo è la permutazione (che mi scambia gli elementi, ma alla fine è una funzione da sé in sé).
3.5.2 Automorfismo interno
L’automorfismo interno rispetto a un gruppo è una specie di congiunzione:
$G_a(x) = axa^{-1}$ si può dimostrare che questo è effettivamente un isomorfismo.
3.5.3 Aut(Zn) ha stesso ordine di U(n)
Gli unici isomorfismi di Zn a se stesso sono gli elementi che sono coprimi con zn, in quanto solo questi possono generare l’intero gruppo (ed essere generatore quindi…) Questo è lo stesso numero di elementi con U(n). Ad alto livello è questo è il motivo per cui vale questo teorema.
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Dimostrazione
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