Introduzione elettromagnetismo
Note storiche: triboelettricità
Il concetto di campo è fondamentale per l’elettromagnetismo (vs forza in meccanica) da un punto di vista storico è nato tramite l’osservazione in fenomeni come lo strofinio fra vetro e pelle, dopo il quale hanno osservato ci fosse una forza nascosta (appunto ombra dal greco di electron). Il vetro si caricava poi abbastanza da poter attrarre carta per esempio. esempio dell’esperimento. Se viene fatto invece fra due lastre in vetro invece diventa repulsiva invece che attrattiva. Questo effetto è chiamato triboelettricità.
Dimensioni atomo
Misure classiche dimensione atomo 🟨
Questa è una piccolissima sezione per dare l’intuizione su quanto sia grande in generale un atomo, confronto fra protone ed elettrone:
Forza di gravità vs elettromagnetico 🟩
TODO: in questa parte viene fatto un confronto fra quanto è grande la forza di gravità contro la forza elettrica in un atomo Fatto da esempio 1.1 pagina 9 del Mazzoldi Abbiamo che la differenza in modulo della forza di gravità e forza elettrica sia molto differente (circa $10^{39}$ di differenza, quindi troppo per dire.)
Esperimenti classici
Elettroscopio a foglie 🟩
[Video per l'esperimento](https://youtu.be/XXVUuW5F0xU?si=eKnTMxnoIitJdTB_) in cui vengono presentati tre casi (e tre cariche risultanti diverse).
- avvicinando un oggetto carico, le foglie si separavano, questa è una carica indotta dalla presenza di un altro oggetto, allontanando rimaneva poi uguale.
- Se tocco, caricherò con la stessa carica del mi oggetto (scambio di elettroni)
- Se scarico a terra, la carica presente sarà l’opposta.
L’angolo di separazione fra le foglie hanno permesso di misurare la carica per la prima volta. (poi probabilmente qualcosa di meccanica per calcolare).
Bilancia a torsione 🟩-
Questo è un setting un po’ più complesso anche se l’idea è ancora quella presente in Elettroscopio a foglie di misurare un angolo per avere la distanza. video esempio.
L'unica cosa importante era l'angolo di torsione, da cui si poteva dedurre la forza.
Poi la palla blu è di metallo, e si può caricare.
Proviamo a considerare il setting:
Sappiamo che il momento torcente è dato da $\vec{m} = \vec{R}\vec{F}$ e si può dire che in modulo abbiamo $\lvert \vec{m} \rvert = \frac{L}{2} \lvert F \rvert \sin \varphi$ (questo da semplice meccanica), ma poi abbiamo anche che il momento torcente del setting (quello che va in alto è solamente $\lvert \vec{M} = k \theta \rvert$) Quando raggiunge l’equilibrio si avrà
Da cui si può derivare la forza, e quindi sperimentalmente anche i valori di questa carica elettrica.
La legge di coulomb
Enunciato a parole 🟩
Date due cariche elettriche poste a una distanza $r$, tra di esse esercita una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza, tale forza è diretta fra la congiungente delle cariche elettriche, repulsiva se i segni sono concordi e attrattiva se discordi.
I risultati di coulomb
Grazie al suo lavoro metodico di sperimentazione è riuscito ad elaborare la legge che viene presentata subito sopra, è riuscito a ridurre il tutto a tre proprietà fondamentali
- la forza è diretta sulla congiungente
- A volte è attrattiva, altre volte repulsiva
- Varia inversamente al quadrato della distanza e direttamente al prodotto (questo è riuscito a farlo con palle di metallo che spezzano la carica in due)
Con questa costante qui che non è più adimensionale come nel caso della costante elastica di torsione, ma è stato nel tempo scoperto essere dipendente dalla costante dielettrica del vuoto, di cui capiremo un po’ meglio quando andremo a parlare di dielettrici in seguito. Una analisi dimensionale ci darà che l’unità di misura di quello è $\frac{Nm^{2}}{C^{2}}$.
Costante dielettrica del vuoto 🟩
Bisogna ricordarsi il valore della costante a memoria! Anche la sua dimensione!
Altra analisi di cui non so la derivazione si avrà che
$$ k = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} = 8.99 \cdot 10^{8} N \frac{m^{2}}{c^{2}} $$Mentre la $\epsilon_{0}$ costante dielettrica del vuoto vale
$$ \varepsilon_{0}=8.85 \cdot 10^{-12}\frac{C^{2}}{N m^{2}} $$Sulla carica
Come proprietà della materia
Proprietà (2) 🟩
La carica è una proprietà intrinseca della materia, esattamente come la massa, se consideriamo protoni ed elettroni, questi sono la più piccola unità di carica possibile.
- Costante, questo significa che se il sistema è isolato, la quantità di carica non cambia mai
- Invariante fra sistemi di riferimento, se lo guardo da un sistema di riferimento che si muove e non (quindi stiamo parlando di meccanica), questa carica non cambia.
Subatomica (no)
Si può dire che un protone e un neutrone è formato da quark, anche se non so esattamente cosa siano, puoi trovare una immagine negli appunti di Matti in questo modo:
Carica protoni ed elettroni 🟩
Stiamo provando a rispondere alla domanda perché la carica di elettroni e protoni è uguale? Proviamo a ragionare per assurdo, assumendo le costanti che conosciamo già sopra nella sezione sui risultati di coulomb.
Supponiamo ci sia una differenza di carica fra protoni ed elettroni, anche piccolissima, mettiamo caso sia $1.6 \cdot 10^{-28}C$, e consideriamo due palle di ferro puro di massa $1Kg$ e raggio $1m$, allora dato che la $\Delta q \neq 0$ si avrà una forza, che sarà di $k \Delta q \frac{\Delta q_{2}}{r^{2}}$, considerando che il ferro nella tavola periodica ha $Z=26$ ossia il numero totale di protoni e $A=55$, il numero di massa, avremo che $\Delta Q = N_{protoni}\cdot \Delta q$, e da questo si può ricavare un valore simile a $0,0455 C$, e considerando che $N_{p} = z \cdot N_{atomi} = Z \cdot \frac{M}{A} N_{a}$ dove l’ultimo è il numero di avocadro credo, la forza che sarebbe presente sarebbe di circa $1.7 \cdot 10^{7} N$, e si avrebbe il terzo principio della dinamica, ma sperimentalmente non esiste questa forza
Principio di sovrapposizione
Enunciato del principio di sovrapposizione
Questo è uno dei metodi principali che sarà utilizzato per calcolare il Campo elettrico, dice semplicemente che i vettori della forza di Coulomb si possono semplicemente sommare fra di loro
$$ \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} Q_{p} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} \hat{r}_{ip} $$Questa stessa idea si può utilizzare senza nessun problema anche nel caso in cui ho volumetti carichi
Densità volumetrica di carica 🟩
$$ \rho(\vec{r}) = \lim_{ \Delta \tau \to 0 } \frac{\Delta q}{\Delta \tau} = \frac{dq}{d\tau} \implies \rho(\vec{r}) d\tau = dq $$Andando a considerare gli infinitesimi
Densità superficiale di carica 🟩
Il concetto è uguale al precedente, solo che ora andiamo a considerare una superficie, e non un volume infinitesimale
$$ \rho(\vec{r}) = \lim_{ \Delta s \to 0 } \frac{\Delta q}{\Delta s} = \frac{dq}{ds} \implies \rho(\vec{r}) ds = dq $$Densità lineare di carica 🟩
Stesso concetto per la lineare, ma anche qui non lo riscrivo però, scrivo però l’equivalente dell #Enunciato del principio di sovrapposizione per più facile comprensione.
$$ \vec{F}_{l} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} Q_{p} \int _{l} \frac{\lambda(\vec{r})}{\Delta r^{2}} \hat{\Delta}r \, dl $$Integrale lineare