Ultima modifica: September 18, 2022 9:43 AM Primo Abbozzo: September 16, 2022 9:52 AM Studi Personali: Yes

Elementi di ripasso

Measure Theory

Introduzione

Requirements of the measure function

Vorremmo cercare di estendere il concetto di misurabilità a gruppi molto più ampi di un singolo intervallo, vorrei creare una funzione che sia in grado di misurare degli insiemi. *su vedrà che sono impossibili).

Impossibilità di questi requirements (assurdo)

Costruzione dell’insieme di interesse

Consideriamo la classe di equivalenza definita come in immagine, mi costruisco (credo si chiami cosets) $\Lambda$ in quel modo, prendendo le classi di equivalenza, posso dire che questo lambda non è numerabile, perché se lo fosse ogni elemento di R sarebbe rappresentabile con lambda e un pezzo di X (ad esempio .

Allora mi costruisco $\Omega$ definito con assioma della scelta prendendo un singolo elemento in ogni classe di equivalenza. È chiaro che questo insieme così creato sia innumerabile.

Inoltre lo creo in modo che $\Omega \subseteq (0, 1)$, credo sia abbastanza intuitivo vedere che c’è sempre un elemento compreso, quindi basta traslare.

Ora vado a utilizzare la regola 2, ossia invarianza per traslazione.

$\forall p, q \in \mathbb{Q}\, (\Omega + p) \cap (\Omega + q) = \varnothing \iff p \neq q$

Supponiamo che l’intersezione non sia vuota, allora $\exists x : x = \alpha + p = \beta + q$, ossia ho che $\alpha - \beta = q - p \implies \alpha \equiv \beta \implies \alpha = \beta \implies p = q$ l’uguaglianza dalla relazione di equivalenza deriva dal fatto che appartengono alla stessa classe di equivalenza, ma per costruzione ne ho presa solo una, quindi sono uguali. Quindi se l’intersezione non è vuota ho che p e q sono uguali. se sono uguali, invece, è chiaro che la loro intersezione è l’insieme stesso, quindi non è vuota.

Upper bound

Ora che abbiamo questa invarianza, sarebbe utile per cercare di utilizzare 3 e farci dei bounds, e poi dimostrare l’assurdo con questi bounds, allora considero l’insieme $\bigcup_{-1 $$ 3 \geq \lambda(\bigcup_{-1L’ultima uguaglianza è valida perché altrimenti, se la somma di un singolo set fosse diversa da zero, avrei che è una somma di infiniti elementi, quindi non è boundata da 3, non può che essere 0.

Lower bound

Ora per la seconda parte della nostra dimostrazione, vorrei affermare che $(0, 1) \subseteq \bigcup_{-1

Sia $x \in (0, 1)$, allora ho che $\exists \alpha \in \Omega : x \equiv \alpha$ questo per costruzione di Omega. allora è vero che $\exists q : x - \alpha = q$ e deve essere che $q \in (-1,1)$ perché $x, \alpha \in (0, 1)$, ma allora $x = \alpha + q \implies x \in \bigcup_{-1

Classes of subsets

Semi-algebra, algebra e sigma algebra defs

Def: semi-algebra

Given $\mathcal{F}$:

$$ \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) $$

Then $\mathcal{F}$ is a semi-algebra if the following are true

1. $\Omega \in \mathcal{F}$
2. if $A \in \mathcal{F} \implies A^{c} \in \mathcal{F}$
3. $A, B \in \mathcal{F} \implies A \cap B \in \mathcal{F}$ I still haven’t understood we also have that $\exists E_{1}, \dots, E_{h} \in \mathcal{F}: A^{c} = \sum_{i=1}^{h}E_{j}$

Def: algebra

We have the same requirements for the semi-algebra, but we don’t have anymore the requirements over the complementary set (that I don’t understand) 2. $A \in \mathcal{F} \implies A^{c} \in \mathcal{F}$

Si può notare che $algebra \implies semi-algebra$ e si possono usare semi-algebra per generare algebra.

Def $\sigma$-algebra

For this type of algebra we want the same requirements for algebra, but we extend the finite intersection property to infinite intersection:

3. $\forall j\geq 1: A_{j} \in \mathcal{F} \implies \bigcap_{j\geq 1}A_{j} \in \mathcal{F}$

NOTA: intersezione di un tante algebra derivanti da uno stesso insieme è sempre una algebra. NOTA2: la stessa cosa funziona per le sigma-algebra.

Algebra generated by a class of sets

• Requirements of generation

  

Quindi quella generata, è l’algebra più piccola che contiene quell’elemento. Questo funziona anche per le sigma-algebra.

Caratterizzazione delle algebre generate da semi-algebre

• Enunciato

  

• Proof ←

  

• Proof →

  TODO: scrivolo te, non è banale, un buon esercizio.

  L’idea principale è la creazione di un algebra, costituito da tutti i modi in cui puoi unire uncountable elementi, e dire che questo insieme qui è un algebra, contiene l’insieme di partenza, e che Q(insieme di partenza) è contenuto in questa, dimostrando ciò finisci, perché sai che $A \in Q(c) \subseteq \mathcal{B}$

Additivity function

• Definition

  

  additivity

  la condizione 1 è importantissima per non avere risultati assurdi per certe cose.. (sarebbe sempre somma finita).

  Si può notare che un insieme algebra è l’insieme naturale di partenza perché soddisfa la chiusura per unione

  NOTA: se $E \subseteq F$, se è infinito la funzione allora è infinita anche F, altrimenti F è maggiore di E. (lo si può dire anche per l’infinito) in particolare so che $\lambda(F) = \lambda(E) + \lambda(F - E)$

  

  Sigma-additivity

• Examples

  

  example of additive function

  

  Example of additive ,but not sigma-additive function

  

  Why it isn’t sigma additive

Continuous measures

def C from below and above

• Definition

  

  Why the measure should be finite, in some cases, En = inf, and remains inf, never converging to 0.

Lemma - c-measures and additivity

• Proof of 1 (from below)

  

• Proof of 1 (from above)

  Provo a ricondurmi al caso precedente, costruendo una serie di insiemi crescente. (a sottrazione)

  Poi dovrebbe essere facile concludere aprendo il limite e aprendo la costruzone.

  (Però si deve fare attenzione a qualche dettaglio sulla finitezza nel passaggio finale).

  

• Proof of 2

  

• Proof of 3

  

• Example of why finiteness is needed

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Extension of additive measure from semi-algebra to algebra

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