Ultima modifica: September 18, 2022 9:43 AM Primo Abbozzo: September 16, 2022 9:52 AM Studi Personali: Yes

Elementi di ripasso

Measure Theory

Introduzione

Requirements of the measure function

Vorremmo cercare di estendere il concetto di misurabilità a gruppi molto più ampi di un singolo intervallo, vorrei creare una funzione che sia in grado di misurare degli insiemi. *su vedrà che sono impossibili).

Impossibilità di questi requirements (assurdo)

Costruzione dell’insieme di interesse

Consideriamo la classe di equivalenza definita come in immagine, mi costruisco (credo si chiami cosets) $\Lambda$ in quel modo, prendendo le classi di equivalenza, posso dire che questo lambda non è numerabile, perché se lo fosse ogni elemento di R sarebbe rappresentabile con lambda e un pezzo di X (ad esempio .

Allora mi costruisco $\Omega$ definito con assioma della scelta prendendo un singolo elemento in ogni classe di equivalenza. È chiaro che questo insieme così creato sia innumerabile.

Inoltre lo creo in modo che $\Omega \subseteq (0,1)$, credo sia abbastanza intuitivo vedere che c’è sempre un elemento compreso, quindi basta traslare.

Ora vado a utilizzare la regola 2, ossia invarianza per traslazione.

$\forall p,q\in \mathbb{Q}(\Omega +p)\cap (\Omega +q)=\varnothing ⟺p\ne q$

Supponiamo che l’intersezione non sia vuota, allora $\exists x:x=\alpha +p=\beta +q$, ossia ho che $\alpha -\beta =q-p⟹\alpha \equiv \beta ⟹\alpha =\beta ⟹p=q$ l’uguaglianza dalla relazione di equivalenza deriva dal fatto che appartengono alla stessa classe di equivalenza, ma per costruzione ne ho presa solo una, quindi sono uguali. Quindi se l’intersezione non è vuota ho che p e q sono uguali. se sono uguali, invece, è chiaro che la loro intersezione è l’insieme stesso, quindi non è vuota.

Upper bound

Ora che abbiamo questa invarianza, sarebbe utile per cercare di utilizzare 3 e farci dei bounds, e poi dimostrare l’assurdo con questi bounds, allora considero l’insieme ${\bigcup }_{-1<p<1,p\in \mathbb{Q}}(\Omega +p)$, allora questa è una unione infinita numerabile di valori diversi fra di loro, stiamo parlando di elementi disgiunti uno a uno, inoltre, dato che p è compreso fra quei valori e Omega è compreso fra 0 e 1, si ha che tutto è contenuto nell’intervallo $(-1,2)$, e si sa che $\lambda ((-1,2))=3$ per definizione, quindi poiché $\forall E,F:E\subseteq F⟹\lambda (E)\le \lambda (F)$ (dimostrazione facile, basta scomporre F tramite unione disgiunta di E e il complementare di E rispetto F) si ha che

$$3\ge \lambda (\bigcup _{-1<p<1,p\in \mathbb{Q}}(\Omega +p))=\lambda (\bigcup _{-1<p<1,p\in \mathbb{Q}}\Omega )=\sum _{-1<p<1}\Omega ⟹\sum _{-1<p<1}\Omega =0$$

L’ultima uguaglianza è valida perché altrimenti, se la somma di un singolo set fosse diversa da zero, avrei che è una somma di infiniti elementi, quindi non è boundata da 3, non può che essere 0.

Lower bound

Ora per la seconda parte della nostra dimostrazione, vorrei affermare che $(0,1)\subseteq {\bigcup }_{-1<p<1,p\in \mathbb{Q}}(\Omega +p)$. Chiaramente se riesco a dimostrare questa cosa, per lemma precedente ho che $1\le {\sum }_{-1<p<1}\Omega$ , che abbiamo detto essere 0, quindi ci sarebbe l’assurdo.

Sia $x\in (0,1)$, allora ho che $\exists \alpha \in \Omega :x\equiv \alpha$ questo per costruzione di Omega. allora è vero che $\exists q:x-\alpha =q$ e deve essere che $q\in (-1,1)$ perché $x,\alpha \in (0,1)$, ma allora $x=\alpha +q⟹x\in {\bigcup }_{-1<p<1,p\in \mathbb{Q}}(\Omega +p)$ e ciò finisce la dimostrazione.

Classes of subsets

Semi-algebra, algebra e sigma algebra defs

Def: semi-algebra

Given $\mathcal{F}$:

$$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\Omega )$$

Then $\mathcal{F}$ is a semi-algebra if the following are true

1. $\Omega \in \mathcal{F}$
2. if $A\in \mathcal{F}⟹A^c\in \mathcal{F}$
3. $A,B\in \mathcal{F}⟹A\cap B\in \mathcal{F}$ I still haven't understood we also have that $\exists E_1,\dots ,E_h\in \mathcal{F}:A^c={\sum }_{i=1}^h{E}_j$

Def: algebra

We have the same requirements for the semi-algebra, but we don't have anymore the requirements over the complementary set (that I don't understand) 2. $A\in \mathcal{F}⟹A^c\in \mathcal{F}$

Si può notare che $algebra⟹semi-algebra$ e si possono usare semi-algebra per generare algebra.

Def $\sigma$-algebra

For this type of algebra we want the same requirements for algebra, but we extend the finite intersection property to infinite intersection:

3. $\forall j\ge 1:A_j\in \mathcal{F}⟹{\bigcap }_{j\ge 1}{A}_j\in \mathcal{F}$

NOTA: intersezione di un tante algebra derivanti da uno stesso insieme è sempre una algebra. NOTA2: la stessa cosa funziona per le sigma-algebra.

Algebra generated by a class of sets

• Requirements of generation

  

Quindi quella generata, è l’algebra più piccola che contiene quell’elemento. Questo funziona anche per le sigma-algebra.

Caratterizzazione delle algebre generate da semi-algebre

• Enunciato

  

• Proof ←

  

• Proof →

  TODO: scrivolo te, non è banale, un buon esercizio.

  L’idea principale è la creazione di un algebra, costituito da tutti i modi in cui puoi unire uncountable elementi, e dire che questo insieme qui è un algebra, contiene l’insieme di partenza, e che Q(insieme di partenza) è contenuto in questa, dimostrando ciò finisci, perché sai che $A\in Q(c)\subseteq \mathcal{B}$

Additivity function

• Definition

  

  additivity

  la condizione 1 è importantissima per non avere risultati assurdi per certe cose.. (sarebbe sempre somma finita).

  Si può notare che un insieme algebra è l’insieme naturale di partenza perché soddisfa la chiusura per unione

  NOTA: se $E\subseteq F$, se è infinito la funzione allora è infinita anche F, altrimenti F è maggiore di E. (lo si può dire anche per l’infinito) in particolare so che $\lambda (F)=\lambda (E)+\lambda (F-E)$

  

  Sigma-additivity

• Examples

  

  example of additive function

  

  Example of additive ,but not sigma-additive function

  

  Why it isn’t sigma additive

Continuous measures

def C from below and above

• Definition

  

  

  Why the measure should be finite, in some cases, En = inf, and remains inf, never converging to 0.

Lemma - c-measures and additivity

• Proof of 1 (from below)

  

• Proof of 1 (from above)

  Provo a ricondurmi al caso precedente, costruendo una serie di insiemi crescente. (a sottrazione)

  Poi dovrebbe essere facile concludere aprendo il limite e aprendo la costruzone.

  (Però si deve fare attenzione a qualche dettaglio sulla finitezza nel passaggio finale).

  

• Proof of 2

  

• Proof of 3

  

• Example of why finiteness is needed

  !

Extension of additive measure from semi-algebra to algebra

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