Notes

8.1 Dimostrazione teorema invarianza 8.1.1 Introduzione Basi: Due proposizioni sono equivalenti quando valgono sugli stessi mondi. quindi $\forall v, \llbracket F \rrbracket ^v \equiv \llbracket G \rrbracket ^ v$. Vogliamo dire che dati un buco presente in una proposizione, queste valgono sempre, sono in effetti equivalenti. Il buco la prendo come una variabile proposizionale. (riempire = rimpiazzare il buco) 8.1.2 Operazione di sostituzione Si può notare che ci sono 4 casi base, mentre le altre 4 sono per ricorsione strutturale. ...

There is a close relationship between topologies and metric spaces. We will see that every metric space directly induces a topology based on its metric. (from a CS point of view, this means topologies are more general than metric spaces). Definition of Metric Space 🟩 We say that $(\mathcal{X}, d)$ is a metric space if $\mathcal{X}$ is a set and $d$ a function $\mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ such that: ...

In this note we explore a theme of time and space complexity. Those are cardinal themes in Theoretical CS. Time -> execution step bounds on algorithms Space -> the cells visited by a Turing Machine when executed. Introduction to Time Complexity This note will build upon know techniques of algorithms analysis explained in Notazione Asintotica. We will need big-$O$ notation and $o$ notation. L’idea è che il problema di decisione è decidibile se limito la lunghezza del teorema. Simile al numero di Chaitin, che non è computabile, ma è approssimabile quanto si vuole. In un certo senso è computabile. The general idea is to ask how the function $\varphi$ that maps the longest $n$ proof to the number of steps of computation behaves. ...

Introduction to topological spaces We want now to extend the idea of continuity presented in limits, which is a function $f : E^{n} \to E^{n}$ is continuous if given $x$ then $\forall\varepsilon > 0$ $\exists \delta$ such that $\forall y : \lVert y -x \rVert < \delta \implies \lVert f(y) - f(x) \rVert < \varepsilon$. But we want to get rid of the idea of distance, and base our definition on the idea of neighborhoods, which in $E^{n}$ are just spherical radius centered around a point. ...

Introduzione This is a short introduction to statistical learning, made with the help of the book (James et al. 2023). statistical learning refers to a set of approaches for estimating $f$ . Utilizzi del statistical learning Solitamente sono due gli utilizzi Predizione e inferenza. Per predizione intendiamo il miglior modello che possa produrre le Y che ancora non conosciamo. Per inferenza significa il miglior modello f per predire Y che conosciamo. ...

Andremo ad analizzare integrali di funzioni continue su insiemi semplici (domini normali) . Introduzione Y-semplice e regolarità È un insieme semplice di punti, in pratica, se considero un intervallo limitato e due funzioni definite in questo intervallo tale che una è sempre minore dell’altra, l’insieme y-semplice sono i punti compresi fra queste Definizione del libro Intuizione integrale Definizione del prof. Dato un insieme semplice A e una funzione continua $f:A \to R$ allora è ben definito l’integrale $$ \int_Af(x, y) dxdy \in R $$ Osservazione 1: ...

This small note is an introduction to Topology that follows the introductory arguments of (Armstrong 2013). Euler’s Theorem We will start our journey in topology following a classical example in the history of Mathematics the relation: $$ v - e + f = 2 $$ Valid for classical Polyhedrons. Basic definitions Polyhedron It’s a collection of plane polygons (see Programmazione lineare#Poliedro) such that: Every polygon shares each of its edges with exactly another polygon We have vertexes that can be shared by many polygons. Informally we have a piece of surface with a vertex. Theorem statement If we have a Polygon $P$ such that ...

This note will introduce the ideas presented by Vapnik, presented in (Shalev-Shwartz & Ben-David 2014) chapter 6. Briefly this says that infinite-size classes are indeed learnable. This set of note is still a work in progress. But it’s very important for statistical learning theory. We have that if $\lvert \mathcal{H} \rvert < \infty \implies vc(\mathcal{H} \rvert) \leq \log_{2} \lvert \mathcal{H}$ Example: if $\mathcal{H}$ is the set of linear classifiers on $\mathbb{R}^{d}$ then we have that the dimension is $d + 1$. ...

Alberi BST e AVL 4.1 Alberi binari di ricerca (BST) Queste sono delle varianti rispetto all’albero, descritto in modo molto sommario sopra (binario perché ogni nodo ha al massimo due figli, mentre l’albero può averne quanti se ne vuole). 4.1.1 Introduzione La caratteristica principale dell’albero di ricerca è una condizione sulle chiavi (che hanno i figli). Infatti questo albero binario di ricerca si può vedere come una implementazione della struttura astratta del dizionario. (che ricordiamo, è un struttura in cui a ogni nodo sono presenti due valori, una chiave (tute differenti) e un dato, e sono definite tre operazioni principali, possiamo vederla come interfaccia). ...

Strutture algebriche Differenza matematica e informatica Una osservazione per quanto riguarda la logica intuizionista è che sta a metà fra matematica e informatica perché la dimostrazione intuizionista possiede in sé un algoritmo e una struttura di dati. Infatti di solito l’informatico scrive senza fare la dimostrazione dell’algoritmo mentre il matematico scrive la dimostrazione senza fare l’algoritmo (inoltre può definire degli enti ed oggetti che non siano rappresentabili come dati in quanto possono essere infiniti. ...