Notes

Nozioni da avere prima di Cambio di Base Applicazioni lineari La definizione di applicazione lineare La matrice associata L’esistenza e unicità di una applicazione lineare rispetto a una base Le coordinate di un punto rispetto a una base. Matrice del Cambio di Base Se ho due spazi vettoriali Intuizione in $R$ Le coordinate dei punti in $R$ sono uguali a $V$ per le basi canoniche, ma questo vale solamente per $R$, ora vogliamo andare a dire una cosa più forte, il cambio di base Poi sarà importantissimo questa nozione, applicazione di base in ML è Principal Component Analysis. Se ho una applicazione lineare $F: V \to W$ e un insieme di basi del dominio e del codominio, allora esiste una matrice $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$ tali che vale il cambio di base. ...

Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti, quindi potresti saltarla totalmente Equazioni lineari L’obiettivo dell’algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a definire meglio cosa è una equazione lineare Definizione Una equazione lineare è una equazione a coefficienti appartenenti a un certo campo (che può essere R) e incognite il cui grado è 1 e che siano indipendenti: ...

Ultima modifica: September 18, 2022 9:43 AM Primo Abbozzo: September 16, 2022 9:52 AM Studi Personali: Yes Elementi di ripasso Measure Theory Introduzione Requirements of the measure function Vorremmo cercare di estendere il concetto di misurabilità a gruppi molto più ampi di un singolo intervallo, vorrei creare una funzione che sia in grado di misurare degli insiemi. *su vedrà che sono impossibili). Impossibilità di questi requirements (assurdo) Costruzione dell’insieme di interesse ...

4.1 Sistemi lineari La cosa buona è che possiamo analizzare il sistema lineare utilizzando tutti i teoremi che abbiamo sviluppato finora, quindi siamo molto più potenti per attaccare questo problema. Definiamo un sistema lineare così $Ax = b$ con A la matrice associata. 4.1.1 Preimmagine Data una applicazione lineare $F:V \to W$, allora la controimmagine è l’insieme dei vettori di V che fanno a finire in quel punto, in matematichese: ...

Definizione gruppo Qualunque insieme più operazione tale per cui: Esistenza dell’inverso per ogni elemento $\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G : gg^{-1} = e$ Esistenza di un elemento neutro $\exists e \in G: \forall g \in G, eg = g$ Associatività: $(gh)f = g(hf)$ Closure: $\forall g, h \in G \implies gh \in G$ Unicità dell’elemento neutro Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi neutri $e, f$ Allora abbiamo che $ae = a = af$ però se moltiplichiamo per l’inversa abbiamo che $a^{-1}ae = a^{-1}af \implies e = f$ ...

Gruppi ciclici e permutazioni Il gruppo ciclico Definizione gruppo ciclico Abbiamo definito in Gruppi per la prima volta il significato di gruppo ciclico generato da un elemento del gruppo, questo insieme si è poi dimostrato essere un sottogruppo del gruppo $$ G = \left\{ a^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \right\} $$ Dove a è chiamato elemento generatore. $$ ord(G) = \lvert \langle a \rangle \rvert $$Criterio $a^{i} = a^{j}$ Probabilmente ha qualche relazione con Teorema di Lagrange. note sull’enunciato entrambe le frecce $\impliedby$ sono abbastanza ovvie. ...

This note is useful to gather in a single place the description of some common problems in CS and their theoretical implications explained in other notes. The Clique problem Description of the problem This problem is in NP, find all sub-graphs where all nodes are connected (this set of nodes forms a complete graph). We can prove that the problem is in NP because there is an easy non-deterministic algorithm that computes it. See Time and Space Complexity#Clique problem for details of this proof. ...

Intractable problems are solvable in principle, but in reality they require so much time or space that there no physical computers that can solve them in reasonable time. We would like to define a clear hierarchy of these set of problems. Space Hierarchies Def: Space constructible We say that a function $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ such that $f(n) \geq O(\log n)$ is space constructible if there exists a function from $1^{n} \to \langle f(n) \rangle$ is $O(f(n))$ space complexity. ...

Cook Levin theorem is important because says that in 1971 if $SAT \in P$ then $NP = P$. We will start with this idea to define the concept of NP-completeness. Let’s start with the basics. Poly-reduction Def: poly-reduction🟩 $$ x \in L' \iff f(x) \in L $$ This is very similar to the Halting Theorem and Reducibility#Mapping reducibility. The difference is that it needs to be polynomially-bounded, so to say, it is efficient function. ...

Halting theorem Questo è un problema fondamentale, che abbiamo trattato anche in Fondamenti teorica#Halting problem, ma qui lo ritrattiamo, perché così lo rifacciamo per bene. In parte è stato trattato anche al corso di Logica. Enunciato Halting theorem🟩 $$ HALT = \left\{ \langle x, y \rangle \in \Sigma^{*} \times \Sigma^{*}: x = code(M),M \text{ si ferma su } x\right\} $$Dimostrazione Halting theorem🟩 La parte del sì è facile perché basta eseguirlo e vedere che si ferma (quindi abbiamo una La macchina di Turing#La macchina di Turing universale. Se si ferma appartiene al linguaggio, altrimenti è la parte in cui diverge. ...