Notes

Gli argomenti della lezione 31 Ottobre sono circa da pagina 164 fino a 185 del mazzoldi. Leggi di Ohm Introduzione microscopica 🟩 Sappiamo che $$ \vec{J} = -n e \vec{v}_{d} ne^{2} t \frac{\vec{E}}{m} $$ Vedi analisi della velocità di deriva col modello del 1900 in Corrente Elettrica. Dove abbiamo utilizzato la definizione di densità di corrente e la velocità fra collisioni ed altre Questo è una motivazione per considerare la densità di corrente come se fosse nello stesso verso. ...

Introduzione al potenziale elettrostatico Abbiamo studiato in dinamica che il potenziale è un concetto strettamente legato al Lavoro, ossia dalla quantità di energia necessaria per spostare un oggetto da un punto all’altro, vogliamo cercare di definire le relazioni che intercorrono nel caso della forza elettromagnetica Rotore nullo => forza conservativa 🟩 $$ \vec{\nabla} \times \vec{F} \implies \vec{F} \text{ è una forza conservativa} $$$$ \oint_{L} \vec{F} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \,d\vec{s} $$ E se abbiamo che il rotore è nullo, allora la forza è conservativa perché per definizione è conservativa se non dipende dal percorso, e la cosa che un circuito chiuso è sufficiente per dimostrare il sopra. ...

Bounds Markov Bound $$ P(X \geq y) \leq \frac{E[X]}{y} $$$$ yP(X \geq y) = y\int _{x =y}^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int _{x=y}^{+\infty} x f(x) \, d \leq \int _{-\infty}^{+\infty}xf(x) \, d = E[X] $$ Il che finisce la dimostrazione. Chebychev Bound $$ P(\lvert x - E[X] \rvert \geq y) \leq \frac{\sigma^{2}}{y^{2}} $$ E in pratica dice che all’infinito viene tutto compattata sul valore atteso La dimostrazione è abbastanza semplice, si sostituisce $(x - E[X])^{2}$ su $X$ di Markov e $\varepsilon^{2}$ a $y$ e poi si dovrebbe già avere il risultato ...

Per trovare i zeri di una funzione continua non lineare non esistono alcuni metodi diretti che ci portano subito a una soluzione. Per questo motivo andremo ad analizzare molteplici pasis iterativi per trovare i zeri di una funzione. La discussione di convergenza di ordine p è stata già discussa nelle note introduttive convergenza e iterazione, per quanto riguarda i metodi iterativi per risolvere sistemi di equazioni lineari Globale e local Ricordiamo di Norme e Condizionamento, in cui il condizionamento era più o meno una stima di quanto cambia la soluzione quando cambia brevemente l’input. Ma ora vogliamo estendere il concetto per equazioni non lineari. ...

In questa serie di appunti proviamo a descrivere tutto quello che sappiamo al meglio riguardanti gli autoencoders Blog di riferimento Blog secondario che sembra buono Introduzione agli autoencoders L’idea degli autoencoders è rappresentare la stessa cosa attraverso uno spazio minore, in un certo senso è la compressione con loss. Per cosa intendiamo qualunque tipologia di dato, che può spaziare fra immagini, video, testi, musica e simili. Qualunque cosa che noi possiamo rappresentare in modo digitale possiamo costruirci un autoencoder. Una volta scelta una tipologia di dato, come per gli algoritmi di compressione, valutiamo come buono il modello che riesce a comprimere in modo efficiente e decomprimere in modo fedele rispetto all’originale. Abbiamo quindi un trade-off fra spazio latente, che è lo spazio in cui sono presenti gli elementi compressi, e la qualità della ricostruzione. Possiamo infatti osservare che se spazio latente = spazio originale, loss di ricostruzione = 0 perché basta imparare l’identità. In questo senso si può dire che diventa sensato solo quando lo spazio originale sia minore di qualche fattore rispetto all’originale. Quando si ha questo, abbiamo più difficoltà di ricostruzione, e c’è una leggera perdita in questo senso. ...

Introduzione sull’encoding Ossia trattiamo metodi per codificare caratteri dei linguaggi umani, come ASCII, UCS e UTF. Digitalizzare significa encodarlo in un sistema che possa essere memorizzato su un dispositivo di memorizzazione elettronico. Ovviamente non possiamo mantenere l’informazione così come è, ma vogliamo memorizzarne una forma equivalente, ma più facile da manipolare dal punto di vista del computer. Creiamo quindi un mapping, o anche isomorfismo tra il valore di mappatura (o encoding), solitamente un valore numerico, tra il singolo valore atomico originale e il numero. ...

This is also known as Lagrange Optimization or undetermined multipliers. Some of these notes are based on Appendix E of (Bishop 2006), others were found when studying bits of rational mechanics. Also (Boyd & Vandenberghe 2004) chapter 5 should be a good resource on this topic. $$ \begin{array} \\ \min f_{0}(x) \\ \text{subject to } f_{i}(x) \leq 0 \\ h_{j}(x) = 0 \end{array} $$Lagrangian function $$ \mathcal{L}(x, \lambda, \nu) = f_{0}(x) + \sum \lambda_{i}f_{i}(x) + \sum\nu_{j}h_{j}(x) $$ We want to say something about this function, because it is able to simplify the optimization problem a lot, but first we want to study this mathematically. ...

Introduzione alle catene di Markov La proprietà di Markov Una sequenza di variabili aleatorie $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots$ gode della proprietà di Markov se vale: $$ P(X_{n}| X_{n - 1}, X_{n - 2}, \dots, X_{1}) = P(X_{n}|X_{n-1}) $$ Ossia posso scordarmi tutta la storia precedente, mi interessa solamente lo stato precedente per sapere la probabilità attuale. Da un punto di vista filosofico/fisico, ha senso perché mi sta dicendo che posso predire lo stato successivo se ho una conoscenza (completa, (lo dico io completo, originariamente non esiste)) del presente. ...

Introduzione alla normalizzazione Perché si normalizza? 🟩 Cercare di aumentare la qualità del nostro database, perché praticamente andiamo a risolvere delle anomalie possibili al nostro interno, e questo aiuta per la qualità. Solitamente queste anomalie sono interessanti per sistemi write intensive, in cui vogliamo mantenere i nostri dati in una forma buona. Però capita non raramente che vogliamo solamente leggere. In quei casi sistemi come Cloud Storage, Distributed file systems potrebbero risultare più effettivi. ...

What are Banach Spaces? A Banach space is a complete normed vector space, meaning that every Cauchy sequence in the space converges to a limit within the space. See Spazi vettoriali for the formal definition. Examples of Banach Spaces In this section, we list some examples of the most common Banach Spaces $\ell^p$ Spaces (Sequence Spaces) Defined as: $$ \ell^p = \left\{ (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \mid \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \right\}, \quad 1 \leq p < \infty $$ The norm is given by: $$ \|x\|_p = \left( \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} $$ When $p = \infty$, we define: $$ \ell^\infty = \left\{ (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \mid \sup_n |x_n| < \infty \right\} $$ with the norm $\|x\|_{\infty} = \sup_n |x_n|$. These spaces are Banach under their respective norms. $L^p$ Spaces (Function Spaces) ...