I processi di Poisson sono dei processi stocastici, interpretabili come collezione indicizzata dal tempo di variabili aleatorie. Esempi semplici sono una uniforme, altri più complessi potrebbe essere una catena di Markov (see Markov Chains) (utile per modellare cammini randomici) o quella di Poisson spiegata qui.

Introduzione ai processi di Poisson

Arrival processes

Sia una sequenza di variabili aleatorie $0 < S_{1} < S_{2} < \dots$ (il fatto che sia positivo significa che per ogni elemento del dominio vale che quell’elemento è <, non so se mi sono spiegato.)

Il fatto che siano crescenti ci permette di metterli in linea, perché siamo sicuri che $S_{2}$ produrrà un valore maggiore di $S_{1}$.

Incline a questo c’è anche il arrival counting process che semplicemente va a contare il numero di arrivi (indicati dagli $S_{i}$). La relazione con l’originale è abbastanza semplice, e dato da questo evento:

$$ \{S_{n} \leq t\} = \{N(t) \geq n\} $$

Possiamo connettere questa nozione con le reti di petri e quantum (Baez & Biamonte 2019)

def: Renewal processes

un arrival process in cui inter-arrival times $x_{1}, x_{2}, \dots$ sono IID.

def: Poisson processes

Sono renewal processes in cui gli $X_{1}, X_{2}, \dots$ $F_{X}(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$, ossia seguono la cumulativa di Poisson.

Proprietà

def: Memory-less

Variabile aleatoria è memory-less se vale.

$$ P(X > t + x)= P(X > t) P(X > x) $$

Lo chiamiamo così perché assumiamo che non dipende dal tempo passato:

$$ P(X > t + x | X > t) = P(X > x) $$

il prof. dice che non ha perso tempo né guadagnato niente. Perso tempo perché se vuoi la cosa prima o poi devi entrare in coda.

Si può dimostrare che se e solamente se la variabile aleatoria è esponenziale allora è memory-less.

Teorema indipendenza di arrival counting and arrival process

sketch:

Prendiamo un tempo $t$

Stationary increment property

Se prendiamo un counting process, questo si dice stazionario se la variabile $N(t') - N(t)$ con $t' > t > 0$ ha la stessa distribuzione di $N(t'- t)$ ossia è lineare senza costanti. Questo sembra chiaro perché ci sta dicendo che il numero di arrivi in un lasso di tempo resta sempre lo stesso.

Un esempio è che nel lavoro di Ermanno le sue cose non rispettano la stationary property.

Independent property

Vale se data una sequenza $0, t_{1}, t_{2}, t_{3}, \dots$ crescente vale che le distribuzioni

$$ N(t_{1}) - N(0), N(t_{2}) - N(t_{1}), \dots $$

Sono indipendenti fra di loro

Per il teorema dimostrato sopra si può dire che la distribuzione di Poisson possieda queste proprietà.

Equivalenze con i processi di Poisson

Arrival counting processes

Si può dire che un processo che soddisfa (reference al libro) che sia independent increment e stationary increment sia un processo di poisson

Conditional arrival densities

Se so che in un intervallo c’è un arrivo, allora è uniforme la probabilità di dove sia arrivato (solo che abbiamo una uniforme su un volume molto strano). Questo è una cosa che credo sia relazionata con la indipendenza di Poisson per questo genere di processi.

La cosa da notare è che questa densità è indipendente da $s_{1}, s_{2}, .., s_{n}$.

si avrà che

$$ f(s_{1}s_{2}\dots s_{n}|n) = \frac{n!}{t^{n}} $$

Applicazioni

Neuronal firing

Da approfondire

Optical trasmission

Da approfondire

References

[1] Baez & Biamonte “Quantum Techniques for Stochastic Mechanics” 2019