Probabilita condizionata e indipendenza

Condizionata

Definizione 🟩

Andiamo a definire una probabilità di un evento $A$, condizionata a un evento non nullo $B$, come

$$ P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} $$

Questo è la cosa fondamentale per poter considerare cose come bayes perché in questo modo abbiamo una certa relazione fra causa ed effetto e anche il contrario! Cosa che ci piace molto molto molto.

La definizione di sopra è un probabilità 🟩

Dimostrazione mia

inanzitutto vediamo che soddisfatta il fatto che $P(A) \in [0, 1]$, poi possiamo notare che

$$ P(\Omega | B) = \dfrac{P(\Omega\cap B)}{P(B)} = P(B) / P(B) = 1 $$$$ P(\bigcup A_n | B) = \dfrac{P(\bigcup A_i\cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(\bigcup (A_i\cap B))}{P(B)} = \sum_{i = 1} ^\infty\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)} $$

Quindi ecco che è una probabilità su Omega!

L’ultima disuguaglianza vale perché sto facendo unione di insiemi disgiunti. (che sono disgiunti per ipotesi.

Regola della catena 🟩

• Dimostrazione in libro

  

Questa è uno delle proprietà più importanti che abbiamo per la probabilità è molto interessante notare come basta una induzione così semplice per fare questo

Formula di disintegrazione o delle probabilità totali 🟩

Dimostrazione

Questo non è tanto difficile da dimostrare, bisogna notare che

$$ B = \bigcup_i (B \cap A_i) $$

il che è vero perché $\forall i, j A_i \cap A_j = \empty, \bigcup A_i = \Omega$ per ipotesi, e quindi sto facendo una unione disgiunta, si ha per $\sigma-$additività la prima tesi, mentre la seconda tesi è derivante dalla definizione di probabiltià condizionate

Indipendenza d’eventi

Introduzione

L’intuizione di maggior rilievo è il fatto che non ho nuove informazioni se è successo B ossia deve valere che $P(A|B) = P(A)$, oppure che $P(B|A) = P(B)$, dato che vale per entrambi, è una proprietà simmetrica.

ha quindi senso andare a definire che due eventi siano indipendenti se vale questa proprietà:

$$ P(A \cap B) = P(A)P(B) $$

È molto importante notare che l’indipendenza di a due a due due eventi non implica l’indipendenza di 3! (guardare l’esempio sul libro)

• Esempio fatto in classe di questo

  Se ho un evento composto da due lanci un dado a 6 faccie, se considero gli eventi:

  1. Al primo lancio esce un numero dispari
  2. Al secondo un numero pari
  3. La somma dei due lanci è pari.

  Si può notare che insieme tutti non possono avvenire, ma se li prendo a due a due sono indipendenti, questo è molto curioso come fenomeno!

Infatti deve essere che valga la proprietà di sopra per ogni singolo sottoinsieme. È una cosa molto importante!

Caso speciale

Nel caso in cui $P(A) = 0$ , oppure vale l’altro, oppure basta che siano $P(A \cap B) = 0$ ossia siano disgiunti allora secondo la definizione sono indipendenti, anche se logicamente dovrebbero essere dipendenti, dato che uno implica l’esclusione dell’altro.

Th Indipendenza e complementari 🟨

• Dimostrazione

  

• Dubbio vecchio

  La dimostrazione è un po`strana, per quale motivo per (ii) → (i) è necessario utilizzare l’induzione? Perché voglio dimostrarlo per ogni modo in cui posso scegliere un sottoinsieme! È molto interessante come con il secondo riesco a dimostrare il tutto.

  Risposta:

  hai capito male la definizione di indipendenza, affinché sia indipendente, deve essere che lo siano tutti i sottoinsiemi di eventi! Quindi ciò rende la dimostrazioen molto più contorta.