R e Intervalli

2.1 Necessità e caratteristiche di R

2.1.1 Radici di N non perfetti e Q

$\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \implies n \text{ è quadrato perfetto}$

Fai lemma della divisibilità fra due numeri

Lemma: Dati $m,n,l$ tali che $MCD(m,l)=1$ e $l | m n$ allora allora $l | n$ Questo si risolve con ragionamenti sui fattori di m e n. Per dimostrare che è razionale la radice di solamente una radice perfetta parto da un numero razionale, faccio certi ragionamenti e scoprirò alla fine che il numero deve essere una radice perfetta.

Questo teorema si può ancora estendere con questo:

• Esercizio (dimostrare)

2.1.2 Necessità di R

Per dimostrazione del punto precedente, ci sono un sacco di lacune in quanto la maggior parte delle radici non appartiene a Q. C’è bisogno di un insieme che operi bene al limite, cosa che con Q non va bene.

Intuizione di R

Aggiungere a Q tutti i punti di cui mancano. Si dice che R è Continuo

• Esempio inefficacia di Q

  

  In questo esempio l’esistenza di un $sup$ c’è solo in R perché in Q la radice di due non è presente e quindi non c’è…

Caratteristican unica

Supremum property esiste sempre il limite superiore o inferiore di un insieme ,questo non succede anche per Q.

2.1.3 Completezza di R

$$ \forall A:A\neq\empty \implies A\in \R $$

Si ottiene completando Q con i pezzi mancanti, per farlo si deve introdurre il concetto di Continuità → Intervalli

Questa proprietà di R è molti importante perché permette di avere sup e inf definiti in seguito qui

Innumerabilità di R

Cardinalità

Si può affermare che la cardinalità di R sia molto maggiore di N, infatti si può dimostrare che è innumerabile grazie

Cantor, si fa la costruzione a tabella e si dimostra che non è suriettiva, ovvero che nell’intervallo $[0,1[$ esiste un numero che non è mai raggiunto da un numero naturale, infatti riesco a costruire un numero che sia diverso in una cifra da tutti i numeri decimali in tabella. Questa è la dimostrazione più semplice di Cantor.

Un altro argomento insiemistico lo puoi trovare qui Relazioni fra insiemi#Diagonalizzazione di Cantor.

2.1.5 Esistenza unicità della radice

File per pdf di lezione per questa

$$ \forall a \in \R_+, \forall n \in \N - \{0\} ,\exists !b \in \R_+ : b^n = a $$

Si indica con $^n\sqrt{a} = b$

Una serie di lemmi utili per la dimostrazione:

• Lemmi
  1. $x^n \geq y^n \implies x \geq y$
  2. $x^n \leq y^n \implies x \leq y$
  3. $x ^n = y^n \implies x = y$
  4. $x^n < y \implies \exists \epsilon ,(x + \epsilon) ^n < y$
  5. $x ^n > y \implies \exists\epsilon (x - \epsilon)^n > y$

NOTA: per dimostrare i lemmi potrebbe essere molto più semplice provare a dimostrare prima per $n = 2$ e poi estendere da questo e poi passando per n generalizzatot

Sapendo di tutti questi lemmi si può dimostrare esistenza ed unicità della radice n-esima.

Per l’unicità basta utilizzare il lemma numero 3 (che si dimostra utilizzando i lemmi 1 e 2)

Per dimostrare l’esistenza della radice bisogna dimostrare l’assurdo che la radice sia minore di quello e maggiore di quello (quello nel senso di 4 e 5)

Per farlo si parte dalla continuità di R creando prima un insieme in cui il sup è x, e da lì dimostrare che è assurdo che la radice sia diversa da quello

Dimostrazione:

Sia $A := \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq b\}$ devo dimostrare che esiste ed è unico la radice a: $a ^2= b$

Allora pongo per assurdo che non esiste tale radice, quindi devo dimostrare l’assurdo per $a ^2 < b \wedge a ^2 > b$.

Poniamo $a$ come il sup dell’insieme A, cosa che esiste dato che è superiormente limitato. (poi usiamo i lemmi 4 e 5)

Caso 1:

$a^2 < b \implies (a + \epsilon) ^2 < b \implies a + \epsilon \in A \implies a + \epsilon < a \implies absurd$

Caso 2:

$a^2 > b \implies (a - \epsilon)^2 > b \implies a - \epsilon \not\in A \implies a - \epsilon \geq a \implies absurd$

Quindi esiste la radice.

Per dimostrare che sia unico mi basta usare il lemma 3

2.2 Intervalli, Maggioranti ed estremi

2.2.1 Intervalli

• Intervalli

  

2.2.2 Maggioranti o minoranti

Un maggiorante (o minorante) è un elemento che è maggiore (o minore di tutti gli elementi) di un certo insieme.

2.2.3 Limitatezza

Un insieme è maggiormente o inferiormente limitato se esiste un maggiorante o un minorante di un insieme.

Se un insieme è sia maggiormente sia inferiormente limitato si dice che è limitato

2.2.4 Estremi (superiori ed inferiori)

Un estremo è definito in questo modo, che funziona anche per i razionali.

$$ l = sup X \iff \begin{cases} \forall x \in X , l \geq x \\ \forall\epsilon : \epsilon > 0,\exists x \in X, l-\epsilon \leq x \\ \end{cases} $$

1. l è un maggiorante
2. l è anche il più piccolo dei minoranti.

In modo simile si può definire la parte inferiore.

Detto in altre parole il sup è il minimo dell’intero insieme dei maggioranti, se esiste questo insieme

2.2.5 Massimi e minimi di insiemi

Dato un $x \in X, x:= _{min} \forall y: y\in X \implies x \leq y$

E in modo simile i massimi.

Si può mettere in relazione massimi e minimi fra di loro, quindi posso dire che:

Se esiste il minimo, questo è il MASSIMO fra tutti i minoranti.

Punto di massimo e minimo

Questa parte sarà utile per weierstrass.

PMassimo:

$f:X \to\R$ si dice punto di massimo $x$ se:

$\forall x_0 \in X, f(x) \geq f(x_0)$

PMinimo

$f:X \to\R$ si dice punto di massimo $x$ se:

$\forall x_0 \in X, f(x) \leq f(x_0)$

2.3 Valore assoluto

Definizione del valore assoluto

$\lvert a \rvert = max(a, -a)$ e si può fare anche una funzione a tratti

2.3.1 7 Proprietà del valore assoluto

1. $|a| \geq 0$
2. $|a| =|-a|$
3. $-|a| \leq a \leq |a|$
4. $|a + b| \leq | a| + | b|$
5. $||a|-|b|| \leq |a-b|$
6. Espansione con disuguaglianze con altre cose senza valore assoluto

Caratteristiche di R

Campo ordinato

Ordine totale e completo (completo = con gli infiniti) **(in cui le relazioni di ordine valgono) vedi pp 76 di Foundations of real analisys.

Proprietà archimedea nessun numero in R è infinitamente grande Nessun elemento in R è infinitamente piccolo (esiste sempre un elemento in Q più piccolo). L’insieme R è denso e nessun numero in R è infinitamente grande Nessun elemento in R è infinitamente piccolo (esiste sempre un elemento in Q più piccolo).