R e Intervalli

2.1 Necessità e caratteristiche di R

2.1.1 Radici di N non perfetti e Q

$\sqrt{n}\in \mathbb{Q}⟹n\text{ eˋ quadrato perfetto}$

Fai lemma della divisibilità fra due numeri

Lemma: Dati $m,n,l$ tali che $MCD(m,l)=1$ e $l|mn$ allora allora $l|n$ Questo si risolve con ragionamenti sui fattori di m e n. Per dimostrare che è razionale la radice di solamente una radice perfetta parto da un numero razionale, faccio certi ragionamenti e scoprirò alla fine che il numero deve essere una radice perfetta.

Questo teorema si può ancora estendere con questo:

• Esercizio (dimostrare)

2.1.2 Necessità di R

Per dimostrazione del punto precedente, ci sono un sacco di lacune in quanto la maggior parte delle radici non appartiene a Q. C'è bisogno di un insieme che operi bene al limite, cosa che con Q non va bene.

Intuizione di R

Aggiungere a Q tutti i punti di cui mancano. Si dice che R è Continuo

• Esempio inefficacia di Q

  

  In questo esempio l'esistenza di un $sup$ c'è solo in R perché in Q la radice di due non è presente e quindi non c'è...

Caratteristican unica

Supremum property esiste sempre il limite superiore o inferiore di un insieme ,questo non succede anche per Q.

2.1.3 Completezza di R

$$\forall A:A\ne \varnothing ⟹A\in \mathbb{R}$$

Si ottiene completando Q con i pezzi mancanti, per farlo si deve introdurre il concetto di Continuità → Intervalli

Questa proprietà di R è molti importante perché permette di avere sup e inf definiti in seguito qui

Innumerabilità di R

Cardinalità

Si può affermare che la cardinalità di R sia molto maggiore di N, infatti si può dimostrare che è innumerabile grazie

Cantor, si fa la costruzione a tabella e si dimostra che non è suriettiva, ovvero che nell'intervallo $[0,1[$ esiste un numero che non è mai raggiunto da un numero naturale, infatti riesco a costruire un numero che sia diverso in una cifra da tutti i numeri decimali in tabella. Questa è la dimostrazione più semplice di Cantor.

Un altro argomento insiemistico lo puoi trovare qui Relazioni fra insiemi#Diagonalizzazione di Cantor.

2.1.5 Esistenza unicità della radice

File per pdf di lezione per questa

$$\forall a\in {\mathbb{R}}_{+},\forall n\in \mathbb{N}-\{0\},\exists !b\in {\mathbb{R}}_{+}:b^n=a$$

Si indica con ${}^n\sqrt{a}=b$

Una serie di lemmi utili per la dimostrazione:

• Lemmi
  1. $x^n\ge y^n⟹x\ge y$
  2. $x^n\le y^n⟹x\le y$
  3. $x^n=y^n⟹x=y$
  4. $x^n<y⟹\exists ϵ,(x+ϵ{)}^n<y$
  5. $x^n>y⟹\exists ϵ(x-ϵ{)}^n>y$

NOTA: per dimostrare i lemmi potrebbe essere molto più semplice provare a dimostrare prima per $n=2$ e poi estendere da questo e poi passando per n generalizzatot

Sapendo di tutti questi lemmi si può dimostrare esistenza ed unicità della radice n-esima.

Per l'unicità basta utilizzare il lemma numero 3 (che si dimostra utilizzando i lemmi 1 e 2)

Per dimostrare l'esistenza della radice bisogna dimostrare l'assurdo che la radice sia minore di quello e maggiore di quello (quello nel senso di 4 e 5)

Per farlo si parte dalla continuità di R creando prima un insieme in cui il sup è x, e da lì dimostrare che è assurdo che la radice sia diversa da quello

Dimostrazione:

Sia $A:=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le b\}$ devo dimostrare che esiste ed è unico la radice a: $a^2=b$

Allora pongo per assurdo che non esiste tale radice, quindi devo dimostrare l'assurdo per $a^2<b\wedge a^2>b$.

Poniamo $a$ come il sup dell'insieme A, cosa che esiste dato che è superiormente limitato. (poi usiamo i lemmi 4 e 5)

Caso 1:

$a^2<b⟹(a+ϵ{)}^2<b⟹a+ϵ\in A⟹a+ϵ<a⟹absurd$

Caso 2:

$a^2>b⟹(a-ϵ{)}^2>b⟹a-ϵ\notin A⟹a-ϵ\ge a⟹absurd$

Quindi esiste la radice.

Per dimostrare che sia unico mi basta usare il lemma 3

2.2 Intervalli, Maggioranti ed estremi

2.2.1 Intervalli

• Intervalli

  

2.2.2 Maggioranti o minoranti

Un maggiorante (o minorante) è un elemento che è maggiore (o minore di tutti gli elementi) di un certo insieme.

2.2.3 Limitatezza

Un insieme è maggiormente o inferiormente limitato se esiste un maggiorante o un minorante di un insieme.

Se un insieme è sia maggiormente sia inferiormente limitato si dice che è limitato

2.2.4 Estremi (superiori ed inferiori)

Un estremo è definito in questo modo, che funziona anche per i razionali.

$$l=supX⟺\{\begin{array}{l}\forall x\in X,l\ge x\\ \forall ϵ:ϵ>0,\exists x\in X,l-ϵ\le x\end{array}$$

1. l è un maggiorante
2. l è anche il più piccolo dei minoranti.

In modo simile si può definire la parte inferiore.

Detto in altre parole il sup è il minimo dell'intero insieme dei maggioranti, se esiste questo insieme

2.2.5 Massimi e minimi di insiemi

Dato un $x\in X,x:{=}_{min}\forall y:y\in X⟹x\le y$

E in modo simile i massimi.

Si può mettere in relazione massimi e minimi fra di loro, quindi posso dire che:

Se esiste il minimo, questo è il MASSIMO fra tutti i minoranti.

Punto di massimo e minimo

Questa parte sarà utile per weierstrass.

PMassimo:

$f:X\to \mathbb{R}$ si dice punto di massimo $x$ se:

$\forall x_0\in X,f(x)\ge f(x_0)$

PMinimo

$f:X\to \mathbb{R}$ si dice punto di massimo $x$ se:

$\forall x_0\in X,f(x)\le f(x_0)$

2.3 Valore assoluto

Definizione del valore assoluto

$|a|=max(a,-a)$ e si può fare anche una funzione a tratti

2.3.1 7 Proprietà del valore assoluto

1. $|a|\ge 0$
2. $|a|=|-a|$
3. $-|a|\le a\le |a|$
4. $|a+b|\le |a|+|b|$
5. $||a|-|b||\le |a-b|$
6. Espansione con disuguaglianze con altre cose senza valore assoluto

Caratteristiche di R

Campo ordinato

Ordine totale e completo (completo = con gli infiniti) **(in cui le relazioni di ordine valgono) vedi pp 76 di Foundations of real analisys.

Proprietà archimedea nessun numero in R è infinitamente grande Nessun elemento in R è infinitamente piccolo (esiste sempre un elemento in Q più piccolo). L'insieme R è denso e nessun numero in R è infinitamente grande Nessun elemento in R è infinitamente piccolo (esiste sempre un elemento in Q più piccolo).