In order to define the concept of probability formally, we need first to introduce some mathematical concepts.
La probabilità
Termini
Esito ed esperimenti aleatorio
L’evento è quello che accade, mentre un esperimento aleatorio qualcosa di cui vogliamo andare a misurare la probabilità diciamo. Esperimento aleatorio: esperimento di cui non conosciamo il risultato con certezza. Esito: risultato dell’esperimento aleatorio
Spazio campionario ed evento
Spazio campionatorio Lo spazio campionatorio è l’insieme di tutti gli stati possibili per una certa cosa da misurare (ossia di un esperimento aleatorio), gli stati sono talvolta anche chiamati sample points oppure outcomes in modo più semplice.
Evento È un sottoinsieme dello spazio campionatorio. Se qualcosa della cosa che stiamo misurando è dentro questo sottoinsieme, all’ora diciamo che l’evento è accaduto altrimenti no.
NOTA: dato che stiamo parlando di sottoinsiemi, valgono tutte le operazioni di intersezione unione, complementare studiate durante Teoria assiomatica degli insiemi.
Uno spazio di probabilità di solito è definito come $\Omega, F, P$, con F sigma algebra e P una misura di probabilità, ossia tale per cui $P(\Omega) = 1,$ è additiva, che descriviamo leggermente meglio in seguito. Si può dire che $P$ sia una funzione dall’insieme delle parti di $\Omega$ ai reali in $[0, 1]$.
Una cosa particolare da osservare riguardo $P$ è che questa probabilità non è osservabile, non riusciamo ad osservare il fatto che il singolo evento abbia una certa probabilità, questa probabilità è qualcosa che nasce dopo un numero molto alto di trials che si susseguono per uno stesso processo stocastico.
Gli eventi poi formano una algebra.
$\sigma$-algebra: The Events
Given a set $\Omega$, a sigma algebra $\mathcal{A} \in P(\Omega)$ is a set such that:
- $\Omega$ inn $\mathcal{A}$.
- If $A \in \mathcal{A}$ then $\bar{A} \in \mathcal{A}$.
- Closed under countable unions: if $A_{i} \in \mathcal{A}$ then $\cup_{i= 1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}$ This will be central when we will talk about experiments.
We say that all elements of the set $\mathcal{A}$ are called events. $\Omega$ is often called sample space.
Probability measure
We say that the function $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to \mathbb{R}$ is a probability measure, given a certain $\sigma$-algebra $(\Omega, \mathcal{A})$, when it satisfies the classical Kolmogorov Axioms (aka probability axioms):
- $0 \leq \mathbb{P}(\mathcal{A}) \leq 1$ for any $A \in \mathcal{A}$
- $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
- For any disjoint set of events $A_{i} \in \mathcal{A}$ we have $$ \mathbb{P}(\cup_{i = 1}^{\infty}A_{i}) = \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{i}) $$
Conseguenze principali degli assiomi (4)
Valore dell’insieme vuoto
Possiamo considerare una successione infinita di elementi vuoti, questi sono tutti disgiunti, e sono anche tutti uguali perché sono applicati sullo stesso insieme.
Se fosse diverso da 0 allora sarebbe infinito, ma deve essere compreso fra 0 e 1, quindi deve essere 0.
Unione disgiunta finita
Basta andare a considerare una successione con 0, questa è infinita, ma i vuoti non danno nessun contributo quindi vale ancora:
$$ \mu(\bigcup^n A_n) = \mu(\bigcup^\infty A_n) = \sum^\infty \mu(A_n) = \sum^n \mu(A_n) = $$Valore dell’inverso
deve essere che, basta considerare che $\Omega = A_n \cup A_n^c$ e l’unione disgiunta.
$$ \mu(A_n) = 1 - \mu(A_n^c) $$Monotonia della probabilità
Ossia se vale
$$ A \subset B \implies \mu(A) \leq \mu (B) $$Principio di inclusione esclusione
Probabilità uniforme 🟩
Il primo è vero perché
$$ \forall i, n \cdot P(w_i) = \sum_{i =1}^n P(\omega_i) = P(\bigcup_{i = 1} ^n \omega_i) = P(\Omega) = 1 \implies \forall i, P(w_i) = 1/n $$L’altro è la formula di laplace, perché siano il numero di eventi di A, posso scriverlo come unione di quegli elementi, abbiamo detto che sono n, per questo riesco a ricostruire quel numero.
Probabilità discreta
Se abbiamo una distribuzione di probabilità, cioè una probabilità definita su tutti gli elementi singoletto, allora possiamo avere una probabilità discreta, ossia probabilità ben definita che sia finito o numerabile.
Definizione probabilità discreta 🟩
Densità discreta
Per 1.7 si intende che p deve essere compreso fra 0 e 1 e la somma per tutti gli elementi dello spazio campionario deve essere 1
Caratterizzazione probabilità discrete 🟩
Continuità della probabilità discreta 🟨+
-
Dimostrazione
Ossia se ho uno spazio di probabilità allora posso avere delle caratteristiche (brutte secondo lollo) riguardo la continuità della funzione.
Anche se per questa parte che non utilizza teoria della misura questo teorema non è che sia molto utile.
Comunque per questa parte forse è meglio farlo dalla misura definita sulle algebre, che è fatta in maniera più generale e ho anche la sigma sub-additività all’interno, non so, forse più difficile??
Impostazione classica della teoria della probabilità (non fare)
Spazi di misura e di probabilità
Dico che ho uno spazio misurabile una coppia $(\Omega, F)$, tale che F sia un insieme di sottoinsiemi di omega, chiamato spazio campionario, e F insieme di eventi. Deve essere che F è una sigma algebra, ossia tali per cui siano chiusi per complementazione e per unione contabile.
Si parla di spazio di misura quando allo spazio misurabile associamo una funzione di misura.
Parliamo di spazio di probabilità se ho anche una funzione di misura tale per cui $P(\Omega) = 1$, . Si ricorda che la funzione di misura è tale se ha come codominio 0 to infty, e ha vuoto = 0, e che sia sigma additiva.
Continuità dall’alto e dal basso.
Se ho che la funzione di misura sia finita, allora vale che $A_n \uparrow A, \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu (A)$ , e che
$\forall i, i < n, A_i \subseteq A_n$
In modo simile è definito la continuità dal basso, solo che ora sono insiemi uno incluso l’altro. Attualmente non so cosa implichi questo fatto, né in che modo è utilizzata questa continuità… Forse per Borel Cantelli, ma poi non so cosa farmene di borel cantelli…
Evento complementare
Sommatoria finita di eventi disgiunti
Principio di inclusione-esclusione 🕳️