Successioni

3.1 Successioni

$$ \begin{cases} f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \\ n \to f(n) \\ \{a\}_{n \in \mathbb{N}} \vee a_n \end{cases} $$

È una funzione che mappa dai naturali ai Reali indicata spesso solamente come

$$ \left\{ a \right\} _{n \in \mathbb{N}} $$

3.1.1 Immagine e successione

L’immagine di una successione (l’insieme dei suoi elementi) non è una successione! la successione è anche ordinata.

3.1.2 Limitazioni della successione

Come per gli insiemi si può definire se l’insieme è limitato superiormente, inferiormente o entrambi, a seconda di come lo definiamo in questo modo possiamo poi farci altri ragionamenti

Per decidere se esiste questo limite, continui a fare gli stessi ragionamento sul maggiorante e minorante come per gli insiemi.

Se uniamo l’essere superiormente o inferiormente limitato con la monotonia allora possiamo unire questa con il concetto di convergenza a un limite finito.

3.1.3 Monotonia delle successioni

Le successioni possono essere crescenti, descrescenti.

La definizione di queste successioni è lasciata al lettore.

3.2 Limiti di successioni

3.2.1 Intuizione

Mi posso arrivare a un certo valore di quanto mi pare, del singolo valore che mi pare so che esiste sempre un valore che mi posso avvicinare.

3.2.2 Limite Convergente

Si definisce un limite per x che tende all’infinito di una successione $a_ n$ in questo modo:

$$ L=\lim_{x\to\infty} a_{n}:=\forall \epsilon\in \R^+, \exists n_0\in \N^*,\forall n \in \N:n \geq n_0 \implies |a_n - L| < \epsilon $$

3.2.3 Limiti divergenti

Ossia per qualunque k, posso andare a cercare un $n_0$ da qui in poi la successione è sempre maggiore, posso scegliere come mi pare

$$ \infty = \lim_{ x\to +\infty} a_ n:= \forall k\in \R^+, \exists n_0\in \N^*,\forall n \in \N:n \geq n_0 \implies a_n \geq k $$ $$ -\infty = \lim_{ x\to +\infty} a_ n:= \forall k\in \R^+, \exists n_0\in \N^*,\forall n \in \N:n \geq n_0 \implies a_n \leq k $$

• Nota di italiano

  SI può dire solamente se una successione tende ma non puoi mai dire che il limite tende a qualcosa, perché il limite è definito come un certo valore.

3.2.4 Limiti finiti

Questa definizione di limite di rifà al concetto di intorno, ed è un limite valutato su un unico punto

3.2.5 Limiti su successioni monotone !!!

Sia data una successione crescente $a_n$, allora $\lim_{x \to \infty} = \sup \{a_n | n \in \N\}$

Simile per successioni decrescenti

Dimostrazione

Dimostriamo ora per il caso decrescente.

Allora il limite $L$ è o finito, o è $-\infty$.

Caso 1 $L = -\infty$:

La successione non ha un limite inferiore, quindi non esistono dei minoranti per questo insieme, allora $\forall k >0 \implies \exists n_0 : a_{n_0} < k$ allora essendo la successione decrescente abbiamo che $\forall n : n\in\N, n < n_o \implies a_n < a_{n_0}$ quindi $a_n < k$ per ogni n minore di $n_0$ ciò è sufficiente per dimostrare la tesi dell’esistenza del limite divergente

Caso 2 $L$ finito:

dobbiamo dimostrare che $-\epsilon \leq |a_n - L| \leq \epsilon \iff L - \epsilon \leq a_n \leq L + \epsilon$ ma sappiamo in quanto $L$ è un minorante che vale $L - \epsilon \leq a_n$, consideriamo ora, $L + \epsilon$, non essendo un minorante, deve esistere un $a_{n_0} < L + \epsilon$ allora essendo la successione decrescente abbiamo che $\forall n : n\in\N, n < n_o \implies a_n < a_{n_0}$ , quindi esiste un $n_0$ tale per per ogni $n$ minore di quello vale la sufficienza per il limite.

3.3 Algebra dei limiti

• Ipotesi e tesi di ciò

  

3.3.1 Somma limiti finiti

Siano $a_n , b_n$ successioni con limite finito $l_1,l_2$, allora il limite di $a_n + b_n$ è $l _1 + l_2$.

$-\epsilon_a \leq a_n - l_1 \leq \epsilon_a$

allora $-\epsilon_b \leq b_n - l_1 \leq \epsilon_b$

allora $-\epsilon_a -\epsilon_b \leq a_n - l_1 + b_n - l_1\leq \epsilon_a +\epsilon_b$ e ciò finisce la dimostrazione.

3.3.2 Somma limiti

Se usiamo un limite tale che una dei due è infinito e hanno lo stesso segno allora abbiamo quello che abbiamo…. Guarda le slides!

3.3.3 Prodotto dei limiti finiti

3.3.4 Prodotto di limiti infiniti

3.3.5 Forme indeterminate somma e prodotto e divisione

Somma di $+\infty-\infty$ oppure il contrario.

$0 \cdot \pm\infty$

Qualunque divisione fra infiniti .

3.4 Numero di Nepero

3.4.1 Necessità per dimostazioni

Per dimostrare l’esistenza del numero di Nepero come

$$ \lim_{n \to \infty} (1 + \dfrac{1}{n})^n = e $$

Devo dimostrare in particolare due cose:

1. Crescenza della funzione
2. Limitatezza della funzione (ricorda che per questa proprietà ho che una successione crescente o è limitata e ha limite finito o è divergente)

3.4.2 La disuguaglianza di Bernoulli

• La tesi e ipotesi della disuguaglianza di Bernoulli

  

Dimostrazione:

Si ha una dimostrazione per induzione

PB:

$n = 0 \implies 1 \geq 1$ Verificato

Supponiamo che valga per n, dobbiamo dimostrare che

$(1 + x) ^{n + 1} \geq 1 + x + nx$

$(1 + x) ^{n + 1} \geq (1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx^2$ ovvio che sia maggiore della parte di destra, per cui è dimostrato.

3.4.3 Crescenza della successione

La successione è strettamente crescente, con 2 pagine e mezzo di calcoli.

Prima dimostri che la divisione fra due numeri successivi della sequenza sia $> 1$, poi fai i calcoli, in modo strano, facendo delle mosse anche intelligenti per quanto riguarda togliere e aggiungere degli uno e finisci a dire che vale.

3.4.4 Limitatezza della successione

Questa dimostrazione si dimostra espandendo la definizione con il binomio di Newton, in seguito si devono avere queste seguenti osservazioni interessanti:

1. Semplificare $\dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}$ dicendo che è minore di 1, in quanto tutti i $k$ fattori al numeratore sono minori del denominatore.
2. Semplificare il restante $\dfrac{1}{k!}$ con le somme telescopiche (usando la disuguaglianza 1/k! ≤ della somma telescopica) e dimostrare che è finito.

Si dimostra quindi che l’upper bound è 3.