Teorema di Lagrange

Classi laterali

• Dimostrazione dei lemmi sopra.

  

La cosa interessante di questa parte è possiamo usare una classe laterale per partizionare il gruppo iniziale!

Il teorema di Lagrange

Dividere significa che **partiziona** l'insieme iniziale in alcuni insiemi distinti. L'insieme $G:H$ è l'insieme che contiene tutti i cosets, credo.

• Dimostrazione

  

|G:H| = |G|/|H|

|a| divide |G|

Ossia un corollario dopo il teorema di Lagrange. La cosa citata è dimostrata in Gruppi ciclici e permutazioni#Criterio $a {i} = a {j}$.

I gruppi di ordine primo sono ciclici

Se ho un gruppo di ordine primo, per il teorema di Lagrange non posso avere sottogruppi propri, perché l’ordine di questi dovrebbe dividere l’ordine del gruppo di partenza. Per questo motivo ho un unico gruppo. Ossia ogni elemento genera l’intero gruppo

a elevato all’ordine del gruppo è uguale ad e

• Dimostrazione L’ordine dell’elemento a deve dividere l’ordine di |G| per Lagrange, quindi, in simboli $$ |a| =n, |G| = m, n \mid m \implies m = nj, a^{|G|} = a^{nj} = e ^j = e $$

Il piccolo teorema di fermat

• Dimostrazione

  

Solitamente si usa la versione

$$ a^{p - 1} = 1 \mod p $$

E la cosa comoda è che $a^{p - 2}$ è l’inversa di quello.

Teorema di Eulero

Proof. http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/nt/ch7.pdf.

Questa è una generalizzazione di #Il piccolo teorema di fermat. Afferma che $\forall n \in \mathbb{N}$ vale che

$$ a^{\varphi(n)} = 1 \mod n $$

Questo è molto più complesso da descrivere e dimostrare. Bisognerebbe per esempio anche definire proprietà della funzione di Eulero.

Classificazione dei gruppi di ordine 2p

SCHIVA STO TEOREMA CHE NON MI SERVE A NUCAZZU

• Idee della dimostrazione

  1. Dividere la discussione con la presenza o meno di elementi di ordine 2p
  2. Caso in cuinon ci sono elementi di ordine 2p
     1. Dimostrare che esiste almeno un elemento di ordine p, perché se fossero tutti di ordine 2, riesco a crearmi (in modo creativo) un sottogruppo di ordine 4 a piacere, molto simile al gruppo quaternione.
     2. Avendo un sottogruppo di ordine p, questo quozienta l’insieme G per il teorema di lagrange, ho solamente un altro insieme che posso scrivere come elemento_fuori_a * gruppo_generato_da_a_di_ordine_p
     3. Dimostro che l’ordine dell’elemento fuori da a deve essere necessariamente di ordine 2. (in qualche modo che non ho compreso)

• Dimostrazione

  

Stabilizzatore e orbita

Stabilizzatore

Orbita

!

Teorema orbita stabilizzatore

!