⚗Linear-Algebra

Algebra modulare Assunzioni Andiamo ora ad assumere l’esistenza e correttezza di alcune cose di base. (in teoria si possono dimostrare da cose più di base, ma non ho tempo). Teorema fondamentale dell’algebra Ogni numero intero si fattorizza in modo unico. Algoritmo di Euclide La conseguenza più importante di questo teorema, dovuto ad Euclide è che se ho $a, b \in \mathbb{Z}$ allora esistono resto e dividendo fra i due. Ossia $\exists q, p : a\mid b = qk + p$ per qualche $k$ intero ...

3.1 Introduzione e definizione Si definisce applicazione lineare una funzione (omomorfica) che preserva la struttura dello spazio vettoriale, ossia vale che $$ f:V \to W, \text{ tale che } \\ f(u + v) = f(u) +f(v)\\, f(\lambda v) = \lambda f(v) $$ Vengono mantenute alcune caratteristiche principali. In modo simile si possono definire omomorfismi per tutte le altre strutture algebriche, la cosa importante è che lo spazio d’arrivo possieda ancora tutte le stesse operazioni. ...

Ha senso solamente parlare di autovettori quando si ha una applicazione lineare con stesso dominio e stesso codominio. Vorremmo trovare una buona matrice che sia diagonale. 6.1 Diagonalizzabilità 6.1.1 Definizione per funzione e matrice Questo perché vorrei una base in cui si abbia un matrice diagonale. (quindi probabilmente P è una matrice identità). ...

2.1 Basi 2.1.1 Definizione Un insieme di vettori $v_1,...,v_n$ sono basi di uno spazio vettoriale $V$ se sono soddisfatte queste proprietà $V = \langle v_1,...,v_n\rangle$ $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti Dalla proprietà 2 potremmo anche dire che è il minimo insieme di vettori necessario per avere questa base. Finitamente generato Se l’insieme dei vettori nella base è finito allora posso dire che è finitamente generato Ma possiamo trovare anche spazi che non sono finitamente generati come $\R[x]$ che non hanno un numero finito di basi (perché dipende dal grado dei polinomi che può essere infinito). ...

Nozioni da avere prima di Cambio di Base Applicazioni lineari La definizione di applicazione lineare La matrice associata L’esistenza e unicità di una applicazione lineare rispetto a una base Le coordinate di un punto rispetto a una base. Matrice del Cambio di Base Se ho due spazi vettoriali Intuizione in $R$ Le coordinate dei punti in $R$ sono uguali a $V$ per le basi canoniche, ma questo vale solamente per $R$, ora vogliamo andare a dire una cosa più forte, il cambio di base Poi sarà importantissimo questa nozione, applicazione di base in ML è Principal Component Analysis. Se ho una applicazione lineare $F: V \to W$ e un insieme di basi del dominio e del codominio, allora esiste una matrice $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$ tali che vale il cambio di base. ...