⚗Linear-Algebra

Nozioni da avere prima di Cambio di Base Applicazioni lineari La definizione di applicazione lineare La matrice associata L’esistenza e unicità di una applicazione lineare rispetto a una base Le coordinate di un punto rispetto a una base. Matrice del Cambio di Base Se ho due spazi vettoriali Intuizione in $R$ Le coordinate dei punti in $R$ sono uguali a $V$ per le basi canoniche, ma questo vale solamente per $R$, ora vogliamo andare a dire una cosa più forte, il cambio di base Poi sarà importantissimo questa nozione, applicazione di base in ML è Principal Component Analysis....

4.1 Sistemi lineari La cosa buona è che possiamo analizzare il sistema lineare utilizzando tutti i teoremi che abbiamo sviluppato finora, quindi siamo molto più potenti per attaccare questo problema. Definiamo un sistema lineare così $Ax = b$ con A la matrice associata. 4.1.1 Preimmagine Data una applicazione lineare $F:V \to W$, allora la controimmagine è l’insieme dei vettori di V che fanno a finire in quel punto, in matematichese:...

3.1 Introduzione e definizione Si definisce applicazione lineare una funzione (omomorfica) che preserva la struttura dello spazio vettoriale, ossia vale che $$ f:V \to W, \text{ tale che } \\ f(u + v) = f(u) +f(v)\\, f(\lambda v) = \lambda f(v) $$ Vengono mantenute alcune caratteristiche principali. In modo simile si possono definire omomorfismi per tutte le altre strutture algebriche, la cosa importante è che lo spazio d’arrivo possieda ancora tutte le stesse operazioni....

Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti, quindi potresti saltarla totalmente Equazioni lineari L’obiettivo dell’algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a definire meglio cosa è una equazione lineare Definizione Una equazione lineare è una equazione a coefficienti appartenenti a un certo campo (che può essere R) e incognite il cui grado è 1 e che siano indipendenti:...

Ha senso solamente parlare di autovettori quando si ha una applicazione lineare con stesso dominio e stesso codominio. Vorremmo trovare una buona matrice che sia diagonale. 6.1 Diagonalizzabilità 6.1.1 Definizione per funzione e matrice Questo perché vorrei una base in cui si abbia un matrice diagonale. (quindi probabilmente P è una matrice identità). Perché ci piacciono le matrici diagonali Se ho una matrice diagonale, si ha che l’applicazione lineare è un semplice scaling dei vettori della base....