⚗Linear-Algebra

Algebra modulare Assunzioni Andiamo ora ad assumere l’esistenza e correttezza di alcune cose di base. (in teoria si possono dimostrare da cose più di base, ma non ho tempo). Teorema fondamentale dell’algebra Ogni numero intero si fattorizza in modo unico. Algoritmo di Euclide La conseguenza più importante di questo teorema, dovuto ad Euclide è che se ho $a, b \in \mathbb{Z}$ allora esistono resto e dividendo fra i due. Ossia $\exists q, p : a\mid b = qk + p$ per qualche $k$ intero...

2.1 Basi 2.1.1 Definizione Un insieme di vettori $v_1,...,v_n$ sono basi di uno spazio vettoriale $V$ se sono soddisfatte queste proprietà $V = \langle v_1,...,v_n\rangle$ $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti Dalla proprietà 2 potremmo anche dire che è il minimo insieme di vettori necessario per avere questa base. Finitamente generato Se l’insieme dei vettori nella base è finito allora posso dire che è finitamente generato Ma possiamo trovare anche spazi che non sono finitamente generati come $\R[x]$ che non hanno un numero finito di basi (perché dipende dal grado dei polinomi che può essere infinito)....

4.1 Sistemi lineari La cosa buona è che possiamo analizzare il sistema lineare utilizzando tutti i teoremi che abbiamo sviluppato finora, quindi siamo molto più potenti per attaccare questo problema. Definiamo un sistema lineare così $Ax = b$ con A la matrice associata. 4.1.1 Preimmagine Data una applicazione lineare $F:V \to W$, allora la controimmagine è l’insieme dei vettori di V che fanno a finire in quel punto, in matematichese:...

Spazi vettoriali 1.1 Piano cartesiano 1.1.1 Definizione Possiamo considerare il piano cartesiano come l’insieme $\R^2$ potremmo dire che esiste una corrispondenza fra una coordinata e un punto del piano, una volta che abbiamo definito un punto di origine. Si può vedere anche come corrispondenza biunivoca con vettori del piano per l’origine (parte dall’origine). Questa cosa vale anche per uno spazio n-dimensionale, non soltanto due, ma per semplicità di introduzione di questo lo faccio con 2...

Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti, quindi potresti saltarla totalmente Equazioni lineari L’obiettivo dell’algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a definire meglio cosa è una equazione lineare Definizione Una equazione lineare è una equazione a coefficienti appartenenti a un certo campo (che può essere R) e incognite il cui grado è 1 e che siano indipendenti:...