🧩Logic

Con questo documento iniziamo a parlare di logica, alcuni paradossi famosi all’interno di questo mondo. Paradossi Metalinguistici Antinomie e Paradossi Antinomia Definizione di antinomia è un ragionamento corretto da cui deriva una conclusione errata, probabilmente è l’insieme o campo in cui stiamo operando ad essere errato e bisogna cercare di ridefinirlo in modo più corretto, in quanto le premesse erano accettabili Paradosso Paradosso quando il ragionamento corretto va contro l’intuizione, come il paradosso dei gemelli in fisica e simili. premesse erano accettabili ...

Coppia ordinata Definizione di Kuratowsky Una coppia ordinata è definita dall’insieme $$ \langle X, Y \rangle = \{X, \{X, Y\}\} $$È quindi chiaro che due coppie ordinate sono uguali fra di loro nel caso in cui gli elementi sono uguali ma anche la loro posizione sono uguali Teorema caratterizzazione delle coppie Definizione di Wiener $$ (X,Y) := \{\{\{X\}, \varnothing\}, \{\{Y\}\}\} $$Definizione di Hausdorff $$ (X,Y) := \{\{X, 1\}, \{X,2\}\} $$Proprietà fondamentale coppie ordinate Due coppie ordinate si dicono uguali se e solo se il primo elemento dei due sono uguali e la stessa cosa per il secondo ...

8.1 Dimostrazione teorema invarianza 8.1.1 Introduzione Basi: Due proposizioni sono equivalenti quando valgono sugli stessi mondi. quindi $\forall v, \llbracket F \rrbracket ^v \equiv \llbracket G \rrbracket ^ v$. Vogliamo dire che dati un buco presente in una proposizione, queste valgono sempre, sono in effetti equivalenti. Il buco la prendo come una variabile proposizionale. (riempire = rimpiazzare il buco) 8.1.2 Operazione di sostituzione Si può notare che ci sono 4 casi base, mentre le altre 4 sono per ricorsione strutturale. ...

Strutture algebriche Differenza matematica e informatica Una osservazione per quanto riguarda la logica intuizionista è che sta a metà fra matematica e informatica perché la dimostrazione intuizionista possiede in sé un algoritmo e una struttura di dati. Infatti di solito l’informatico scrive senza fare la dimostrazione dell’algoritmo mentre il matematico scrive la dimostrazione senza fare l’algoritmo (inoltre può definire degli enti ed oggetti che non siano rappresentabili come dati in quanto possono essere infiniti. ...

La deduzione naturale è un possibile sistema deduttivo che utilizza il linguaggio naturale per questo motivo più beginner friendly. Lo facciamo prima per la Logica Proposizionale che è molto facile Il sistema deduttivo Poniamo l’esistenza di Assiomi (formule in una certa logica) e regole di inferenza definite sotto. Esempi sono $P \vdash \varphi$ se $\varphi$ è un assioma. O altre cose simili con $\land$ e simili… Una dimostrazione allora è una sequenza di $\varphi_{1}, \dots, \varphi_{n}$ dove $\varphi_{i}$ è derivata con le regole di inferenza e $\varphi_{1}, \dots, \varphi_{i - 1}$. ...

Lo scopo della logica è Correttezza del ragionamento, anche verificata attraverso algoritmi predittivi. Si svilupperanno linguaggi logici I metodi per la veridicità di una sentenza. Possibilità e metodi del ragionamento logico Completezza e non-deducibilità di alcuni ragionamenti Necessità di completezza delle ipotesi: più ipotesi = ragionamento valido? Completezza delle tesi, impossibile. Una necessità della logica è Meta-logica: La logica si deve cercare di basare su certe basi, spesso queste non sono certe, però danno un certo grado di sicurezza → Se la base è solida allora tutto il ragionamento di una parte è giusta ...

Logica del primo ordine Questa è la logica più utilizzata dai matematici Limitatezza della logica proposizionale La logica proposizionale classica non è in grado di ragionare sull’infinito Fino ad ora abbiamo utilizzato una metalogica per giustificare il per ogni e l’esiste nelle dimostrazioni fin’ora. Dobbiamo quindi dare una definizione più formale dei quantificatori. Obiettivo della logica del primo ordine Si può quindi identificare come l’obiettivo della logica di primo ordine l’introduzione dei quantificatori dell’universale e dell’esiste ...

Con la logica proposizionale studiamo le denotazioni che hanno un valore di verità, ovvero deve essere una sentenza assertiva. Studio solamente le connotazioni che hanno una capacità denotativa, in quanto è solo quello ch emi importa. 6.1 La sintassi Vengono qui definite le produzioni che valgono in ogni singolo mondo. $$ F ::= \top|\bot|A|B|...|\not F| F \wedge F| F \vee F| F \implies F $$Questa è la BNF della nostra sintassi. ...

Molto importante questo documento per avere chiara la differenza fra la logica intuizionista e la Logica Proposizionale classica. Questa logica intuizionista non si preoccupa del noumeno platonico, ma solo di una prova reale. Introduzione: wikipedia 9 11 Scopi di intuizionista (3) Semantica dell’evidenza → costruzione della prova Semantica della conoscenza diretta = conoscenza diretta Semantica della calcolabilità = programma, algoritmo della soluzione 9.1 Invenzione o scoperta La semantica intuizionista vede la matematica come una creazione (e questa cosa interessa molto all’informatico perché è una prova., mentre la semantica classica vede la matematica come una scoperta ...

Programmare e dimostrare sono sostanzialmente la stessa attività ~Coen Ma non secondo l’industria… 4.1.1 Definizione e necessità Branca della linguistica, studia creazione di proposizione e il loro collegamento per la creazione di un periodo In seguito la semantica dà un metodo a queste proposizioni in modo che abbiano un senso. Utile o necessario per la definizione del linguaggio artificiale 4.1.2 Alfabeto, stringa, linguaggio e grammatica Alfabeto: Insieme non vuoto di simboli (che spesso sono diversi fra di loro) Stringa seguenza finita (vuoto è possibile) di simboli $\epsilon = \varnothing$ Linguaggio: insieme di stringhe (di qualunque tipo, finito o infinito). Grammatica formalismo (un insieme di regole che lo rende finito) che definisce un linguaggio ...