🧩Logic

Strutture algebriche Differenza matematica e informatica Una osservazione per quanto riguarda la logica intuizionista è che sta a metà fra matematica e informatica perché la dimostrazione intuizionista possiede in sé un algoritmo e una struttura di dati. Infatti di solito l’informatico scrive senza fare la dimostrazione dell’algoritmo mentre il matematico scrive la dimostrazione senza fare l’algoritmo (inoltre può definire degli enti ed oggetti che non siano rappresentabili come dati in quanto possono essere infiniti. ...

8.1 Dimostrazione teorema invarianza 8.1.1 Introduzione Basi: Due proposizioni sono equivalenti quando valgono sugli stessi mondi. quindi $\forall v, \llbracket F \rrbracket ^v \equiv \llbracket G \rrbracket ^ v$. Vogliamo dire che dati un buco presente in una proposizione, queste valgono sempre, sono in effetti equivalenti. Il buco la prendo come una variabile proposizionale. (riempire = rimpiazzare il buco) 8.1.2 Operazione di sostituzione Si può notare che ci sono 4 casi base, mentre le altre 4 sono per ricorsione strutturale. ...

La deduzione naturale è un possibile sistema deduttivo che utilizza il linguaggio naturale per questo motivo più beginner friendly. Lo facciamo prima per la Logica Proposizionale che è molto facile Il sistema deduttivo Poniamo l’esistenza di Assiomi (formule in una certa logica) e regole di inferenza definite sotto. Esempi sono $P \vdash \varphi$ se $\varphi$ è un assioma. O altre cose simili con $\land$ e simili… Una dimostrazione allora è una sequenza di $\varphi_{1}, \dots, \varphi_{n}$ dove $\varphi_{i}$ è derivata con le regole di inferenza e $\varphi_{1}, \dots, \varphi_{i - 1}$. ...

Lo scopo della logica è Correttezza del ragionamento, anche verificata attraverso algoritmi predittivi. Si svilupperanno linguaggi logici I metodi per la veridicità di una sentenza. Possibilità e metodi del ragionamento logico Completezza e non-deducibilità di alcuni ragionamenti Necessità di completezza delle ipotesi: più ipotesi = ragionamento valido? Completezza delle tesi, impossibile. Una necessità della logica è Meta-logica: La logica si deve cercare di basare su certe basi, spesso queste non sono certe, però danno un certo grado di sicurezza → Se la base è solida allora tutto il ragionamento di una parte è giusta ...

Logica del primo ordine Questa è la logica più utilizzata dai matematici Limitatezza della logica proposizionale La logica proposizionale classica non è in grado di ragionare sull’infinito Fino ad ora abbiamo utilizzato una metalogica per giustificare il per ogni e l’esiste nelle dimostrazioni fin’ora. Dobbiamo quindi dare una definizione più formale dei quantificatori. Obiettivo della logica del primo ordine Si può quindi identificare come l’obiettivo della logica di primo ordine l’introduzione dei quantificatori dell’universale e dell’esiste ...