Theoretical-Computer-Science

This note is useful to gather in a single place the description of some common problems in CS and their theoretical implications explained in other notes. The Clique problem Description of the problem This problem is in NP, find all sub-graphs where all nodes are connected (this set of nodes forms a complete graph). We can prove that the problem is in NP because there is an easy non-deterministic algorithm that computes it. See Time and Space Complexity#Clique problem for details of this proof. ...

Intractable problems are solvable in principle, but in reality they require so much time or space that there no physical computers that can solve them in reasonable time. We would like to define a clear hierarchy of these set of problems. Space Hierarchies Def: Space constructible We say that a function $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ such that $f(n) \geq O(\log n)$ is space constructible if there exists a function from $1^{n} \to \langle f(n) \rangle$ is $O(f(n))$ space complexity. ...

Cook Levin theorem is important because says that in 1971 if $SAT \in P$ then $NP = P$. We will start with this idea to define the concept of NP-completeness. Let’s start with the basics. Poly-reduction Def: poly-reduction🟩 $$ x \in L' \iff f(x) \in L $$ This is very similar to the Halting Theorem and Reducibility#Mapping reducibility. The difference is that it needs to be polynomially-bounded, so to say, it is efficient function. ...

Sono variazioni possibili equivalenti: • Nastri addizionali • Testine addizionali • Nastri infiniti su entrambi i lati • Non-determinismo • Scelta probabilistica • Scelta quantistica Si può dire che la definizione di TM è stata robusta nella storia perché tantissimi formalismi che intuitivamente sembrano essere molto diversi rispetto alla TM alla fine possono essere dimostrate essere equivalenti. Turing con nastri addizionali Questo è presente in modo abbastanza facile sul Sipser. ...

Halting theorem Questo è un problema fondamentale, che abbiamo trattato anche in Fondamenti teorica#Halting problem, ma qui lo ritrattiamo, perché così lo rifacciamo per bene. In parte è stato trattato anche al corso di Logica. Enunciato Halting theorem🟩 $$ HALT = \left\{ \langle x, y \rangle \in \Sigma^{*} \times \Sigma^{*}: x = code(M),M \text{ si ferma su } x\right\} $$Dimostrazione Halting theorem🟩 La parte del sì è facile perché basta eseguirlo e vedere che si ferma (quindi abbiamo una La macchina di Turing#La macchina di Turing universale. Se si ferma appartiene al linguaggio, altrimenti è la parte in cui diverge. ...