Theoretical-Computer-Science

Most of times the pattern of proving and verifying it is like this $prove \to verify$, that is: there is an entity that generates the solution, andPo then another that tries to verify it. But more expressive algorithms could be possible if there is interaction between the two entities, ones that try to prove it, and others try to verify it. From some point of view, this is similar from what AlphaGo does when searching, there is a part that guides the search, another that actually searches for it. Or the modern alpha geometry in modern times. ...

Introduzione Note filosofiche (non impo) Bisogna in primo momento cercare di definire cosa è la computazione e cosa è un computer. Aristotele faceva la distinzione fra proprietà essenziali e accidentali. Quelle essenziali sono proprie dell’oggetto. Una sedia può essere fatta di legno o di metallo, ma questa proprietà è accidentale, ovvero, essa rimane una sedia indipendentemente dal materiale di cui è fatta. Solitamente in matematica si prova ad astrarre (vedi Astrazione sul controllo per nota generale sull’astrazione). Però in questo campo si sono trovati molte concezioni equivalenti. Fino ad arrivare a concepire la tesi di Church-Turing. Il prof. nota che questo è strano, perché in altre discipline si converge in unico modello, mentre qui molte cose sono indifferenti. Questo è importante per capire come la concezione di Computer Science si è evoluta (Denning 2010). ...

Introduction to the probabilistic Turing Machine Most of real phenomena are better comprehended by a probabilistic view. This pushes to build a formal model that takes probability into account Def: Probabilistic TM $$ \mathbb{P}(b) = 2^{-k} $$ Where $k$ is the length of the branch. Then the probability of accepting the word is given by this: $$ \mathbb{P}(\mathcal{M} \text{ accepts } \omega) = \sum_{b \text{ is an accepting branch}} \mathbb{P}(b) $$ Note that this is very similar to the Algorithmic probability defined in Kolmogorov complexity. ...

Introduction to the Rice Theorem Ci sono molti teoremi che non possono essere decisi, vedere Halting Theorem and Reducibility. Qui andiamo a chiederci quale sia l’insieme dei problemi decidibili. Proprietà dei linguaggi TM🟩 $$ L_{\mathcal{M}} = \left\{ x \in \Sigma^{*}: \mathcal{M} \text{ accetta } x \right\} $$$$ L_{\mathcal{M}} = L_{\mathcal{M}'} \implies P(\mathcal{M}) = P(\mathcal{M}') $$ Definiamo questa non triviale se esiste una macchina per cui è 0, e una per cui è 1 (ossia non è costante). Practically this definition is useful when we need to have a difference between the language and the Turing machine that decides that language. ...

In this note we explore a theme of time and space complexity. Those are cardinal themes in Theoretical CS. Time -> execution step bounds on algorithms Space -> the cells visited by a Turing Machine when executed. Introduction to Time Complexity This note will build upon know techniques of algorithms analysis explained in Notazione Asintotica. We will need big-$O$ notation and $o$ notation. L’idea è che il problema di decisione è decidibile se limito la lunghezza del teorema. Simile al numero di Chaitin, che non è computabile, ma è approssimabile quanto si vuole. In un certo senso è computabile. The general idea is to ask how the function $\varphi$ that maps the longest $n$ proof to the number of steps of computation behaves. ...