Introduzione alla corrente elettrica
Considerazioni generali
Elettroni liberi nei materiali
Ricorda che è un reticolo cristallino, con un elettrone nell’ultimo orbitale poco legato, quindi facilmente ionizzabile, in cui gli elettroni si possono muovere facilmente, e abbiamo che $n \approx 8.5 \times 10^{28} \frac{e^{-}}{m^{3}}$ nel rame Per l’argento abbiamo 5.9 con stesso ordine di grandezza.
Velocità media elettroni senza campo elettrico 🟩
$$ \vec{v}_{m} = \sum_{i = 1} ^{N} \frac{\vec{v}_{i}}{N} = 0 $$$$ \frac{1}{2} m_{e} v^{2} = \frac{3}{2} k T $$Con $k = 1.38 \times 10 ^{-23} J / K$ questo da studiare in altro posto…
$$ \vec{V} = \sqrt{ \frac{3kT}{m_{e}} } \approx 1.16\times 10^{5} \frac{m}{s} = 116 \frac{km}{s} $$Assumendo che $T = 293K$ con la teoria cinetica dei gas classica. Ma probabilmente questa analisi non è corretta, perché serve la meccanica quantistica per spiegare questo (Fermi-Sommerfield, calcola meglio questa parte), con questa otteniamo che è ti tipo $1580 \frac{km}{s}$ che è un ordine di grandezza più grande.
In assenza di campo sembra assistere a urti anelastici in giro, che vanno a caso e si scontrano con atomi molto più pesanti.
Velocità di deriva 🟩
Proviamo a considerare questo esperimento: Sia $\vec{v}_{i}$ la velocità di un elettrone prima di un urto, e $\vec{v}_{i + 1}$ la velocità dopo un urto. Facciamo finta che in un campo elettrico venga acceso un campo elettrico nell’intervallo fra $i$ e $i + 1$, allora sarà sottoposto a una forza
$$ \vec{F} = -e\vec{E} $$$$ m \frac{dv}{dt} = -eE \implies \vec{v} = -\frac{e\vec{E}}{m} t $$Allora sappiamo che in ogni urto, si avrà in generale sempre una componente verso la direzione del campo (questa è la parte che influenza la velocità di deriva che ricordiamo è molto basso). Questo è nell’ordine di metri all’ora.
Allora provando a riconsiderare la velocità media:
$$ \vec{v}_{media} = \frac{1}{N}\sum \vec{v}_{i} - \frac{e\vec{E}}{m}t = -\frac{e\vec{E}}{m}t $$Dato che la velocità che proviene solamente da agitazione termica è 0, e che ogni singola particella è soggetta alla stessa forza (si semplifica il numero diciamo per il secondo addendo).
Similitudine velocità di deriva con caduta 🟨
Molto brevemente se sottoposti a un campo elettrico, gli elettroni si spostano, ma questa cosa dura molto poco, quindi non era poi utile a utilizzare.
$$ \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g} - \beta \vec{v} \implies \vec{V}_{lim} = \frac{m\vec{g}}{\beta} = \text{constant} $$Anche in questo caso ci sarà una velocità constante media degli elettroni, quando continuamente cominciano a sbattere.
Nel caso delle correnti si chiama effetto di RESISTENZA ossia l’effetto di urti sugli atomi del mezzo conduttore, che rallentano, qui il baricentro delle cariche si sposta all’interno del campo, che va in modo costante.
Superconduttori 🟩
Sono materiali in cui non c’e resistenza, solitamente leghe di metalli rari (boruro di metallo tipo), in cui vicino allo 0 assoluto non hanno resistenza.
Semiconduttori 🟩
Sono dei dielettrici drogati con aggiunta di ioni che siano in grado di liberare carica, come sali disciolti nell’acqua. Hanno una densità di elettroni molto molto minori rispetto ai conduttori, ma sono sufficienti per condurre La caratteristica principale è che hanno molti meno elettroni liberi, ma ne hanno alcuni.
Introduzione con definizioni
Definizione della corrente 🟩
$$ i = \lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt} $$Questo si può mettere in relazione con la densità di corrente che sarà spiegata subito dopo, abbiamo che
Grandezza della corrente 🟩
$$ [i] = [Q][T]^{-1} = [A] $$Ossia $1A = 1C / 1s$ che è una quantità enorme.
Densità di corrente
Definizione di densità di corrente 🟩
Perché la $\vec{J}$ che è definita ha stesso verso del campo elettrico. È la quantità di corrente che attraversa una superficie qualunque, quindi è un flusso.
$$ \vec{J} = ne \cdot \vec{v}_{d} $$Con la velocità di deriva.
Densità di corrente motivazione (!) 🟩
Vogliamo capire, quanta corrente in un intervallo $dt$ attraversa quella superficie?
Tutta la carica che sta a distanza $v_{d}dt$ riesce a passare la superficie.
abbiamo quindi che il volume è
$$
d\tau = v_{d} \Delta t dS \cos \theta
$$
in cui $v_{d}\Delta t$ è il parallelepipedo, o comunque la zona di spazio delle cariche che passeranno attraverso la superficie.
E allora il numero di elettroni lì dentro è $n_{e}\cdot \tau$ Quindi
$$ dq = qn_{e} \cdot d\tau $$Con questo possiamo ri-caratterizzare la definizione di corrente:
$$ i = \lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta q}{\Delta t} = ne v_{d} S \cos \theta = ne \vec{v}_{d} \cdot \vec{S} = \vec{J} \cdot \vec{S} $$che è proprio ciò che abbiamo ragionando per first principles.
$$ i = \int _{\Sigma} di = \int _{\Sigma} \vec{J} \cdot d\vec{S} $$E chiamo la nuova grandezza $\vec{J}$ con lo stesso verso del campo elettrico come densità di corrente Di valore $\frac{[A]}{[m]^{2}}$ Quindi la $i$ è il flusso all’interno di quello, come se fosse acqua in tubo. Dal punto di vista del flusso però è impossibile distinguere fra positivi e negativi, perché tanto si annullano Questo è vero considerando questa semplice osservazione:
$$ \vec{J} = nqv $$$$ \vec{J} = n (-q) (-v) $$In ogni caso è sempre positivo, quindi possiamo usare la parte positiva come carica giustificato da questo artificio matematico.
Stima densità di corrente (no impo)
Supponiamo di avere un tubo di rame per cui abbiamo $n \approx 8.5 \times 10^{28} \frac{e^{-}}{m^{3}}$, $r = 0.8 mm$ con una corrente $i = 15 A$, consideriamo una superficie perpendicolare. Applichiamo i concetti:
$$ i = \int _{\Sigma} \vec{J} \cdot \vec{dS} = J \int _{\Sigma} \, dS = J \cdot S = J \pi r^{2} = nev_{d} \pi r^{2} \implies v_{d} = \frac{i}{neS} $$Sappiamo che $S \approx 2 \times 10^{-6} m^{2}$ e sappiamo che $ne$ è la densità volumetrica di carica, dipendente la carica di conduzione $\rho$ che è il valore di n che abbiamo descritto sopra. $ne = \rho = 8.5 \times 10^{28} \cdot 1.6 \times 10^{-19} \approx 13.6 \times 10^{9} \frac{C}{m^{3}}$
Sostituendo sopra abbiamo che $v_{d} \approx 5 \times 10^{-4} \frac{m}{s} = 2\frac{m}{h}$ Quindi due metri all’ora, avendo gli elettroni che si muovono a 1k chilometri a secondo, la velocità di deriva è molt lenta, ed è corrente. Ma essendo la carica enorme, alla fine ho grandi valori!
Facendo tutto questo calcolo abbiamo che
Equazione di continuità della densità di corrente (!) 🟩
$$
i = \int _{\Sigma} \vec{J} \cdot \vec{S} = -\frac{dq}{dt}
$$Perché sto considerando la carica positiva che sta uscendo, quindi dentro sto perdendo carica.
Regime stazionario si ha quando $i = 0$, quindi non ho carica che gira, nel senso che stessa carica esce, e stessa carica esce durante il circuito.
Continuità in forma differenziale 🟩
Questo è l’equivalente di conservazione di carica per la corrente.
Noi abbiamo per il teorema della divergenza (vedi Divergenza e Circuitazione) che
$$ \oint_{\Sigma} \vec{J} \cdot d\vec{S} = \int _{V(\tau)} \vec{\nabla} \cdot \vec{J} \, d\tau $$$$ \frac{dq}{dt} = \int _{V(\tau)} \frac{\delta\rho}{\delta t} \, d\tau $$$$ \int _{V(\tau)} \frac{\delta\rho}{\delta t} \, d\tau = - \int _{V(\tau)} \vec{\nabla} \cdot \vec{J} \, d\tau $$Questa è l’equazione di continuità in forma differenziale:
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \frac{\delta \rho}{\delta t} = 0 $$