Scalare
Scalare e gradiente 🟩
Un campo scalare assegna a ogni punto dello spazio un valore reale, quindi è naturalmente rappresentabile tramite una funzione
$$ \varphi(x, y, z) : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R} $$Un esempio abbastanza naturale è il gradiente del valore scalare che si indica con
$$\vec{\nabla}\varphi = ( \frac{\delta\varphi}{\delta x}, \frac{\delta\varphi}{\delta y}, \frac{\delta\varphi}{\delta z}) = \frac{\delta\varphi}{\delta x} \hat{i} + \frac{\delta\varphi}{\delta y} \hat{j} + \frac{\delta\varphi}{\delta z} \hat{k}$$Se consideriamo il gradiente da solo è un campo vettoriale (dice la direzione della derivata multidimensionale).
Gradiente in coordinate polari 🟨
Questo è un po’ più difficile da gestire, però è abbastanza facile una volta che si fanno certe osservazioni. Sappiamo che $dV = \vec{\nabla} V \cdot d\vec{s}$, TODO: finire la dimostrazione, è descritta bene a pagina 47 del mazzoldi.
Comunque si finisce con
$$ \vec{\nabla} = \frac{\delta}{\delta r} u_{r} + \frac{1}{r}\frac{\delta}{\delta \theta}u_{\theta} + \frac{1}{r\sin \theta}u_{\phi} $$A volte questo può risultare utile se proviamo a fare cose come calcolare il campo elettrico attraverso il gradiente.
NOTA: la divergenza però assume una forma diversa, che non so bene spiegare il motivo in questo momento però.
Gradiente in coordinate cilindriche
$$ \vec{\nabla} = \frac{\delta}{\delta r} u_{r} + \frac{1}{r}\frac{\delta}{\delta \theta}u_{\theta} + \frac{\delta}{\delta \phi}u_{\phi} $$Vettoriale
Superfice di separazione 🟩
Per la definizione di questo, è chiaro che il flusso su una superficie di separazione è nulla, quindi posso dividere superfici come mi pare internamente, tanto su queste è nulla, o posso considerare solamente la superficie più esterna che li racchiude (è nulla perché avrò due versioni uguali e contrarie).
TODO: scrivere il ragionamento in formule
Integrale per un campo: teorema del gradiente 🟨++
In analisi abbiamo studiato il teorema di torricelli, ma possiamo estenderlo senza troppa fatica (almeno intuitivamente), nel caso in più dimensioni!
torricelli ci dice che (mettere condizioni qui di esistenza integrale) $f(B) - f(A) = \int _{A}^{B} f'(x) \, dx$, Poniamo il concetto di differenziale ossia piccolo rettangolino nell’integrale di rieman come $df = f'dx$, attraverso questo abuso di notazione, allora diventa molto naturale estenderlo nelle 3 dimensioni come $d\varphi(x, y, z) = \vec{\nabla}\varphi \cdot d\vec{l}$ usando il prodotto scalare, in pratica ho il prodotto scalare amplificato per quello che mi serve. Allora diventa intuitivo che nel caso tridimensionale l’integrale sia
$$ \varphi(B) - \varphi(A) = \int _{A}^{B} \vec{\nabla}\varphi \cdot d\vec{l} $$È da notare che nel nostro caso, se abbiamo un campo conservativo, questo integrale è dipendente solamente da inizio e fine, non dipende dal percorso, il che implica che il campo è conservativo.
Teorema della divergenza (!!) 🟩-
Dal ragionamento precedente abbiamo capito che potrei dividere la superficie con quante superfici di separazione mi pare, tanto il flusso esterno non cambia, questo mi permette di dividere in tanti volumetti e cercare il flusso con questi volumetti
$$ \phi_{s}(\vec{F}) = \sum_{i=1}^{N} V_{i} \frac{\oint_{\Sigma} \vec{F} \cdot dS_{i}}{V_{i}} $$Andiamo a chiamare la seconda parte la divergenza di F, e sarà il flusso per unità di volume, vedremo che questa sarà strettamente vicina al significato di gradiente indicato con nabla. Dato che sto considerando piccolissimi volumi, se la Divergenza è positiva, significa che c’è del flusso che esce da quel punto si dice che sono delle sorgenti, perché generano campo, e solitamente queste sono punti in cui le linee di campo si incontrano. Quando è uguale a 0 non si dovrebbero incontrare
Enunciato in modo corretto il teorema afferma:
$$ \phi_{S \text{ chiusa}} = \oint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \iiint_{V}(div \vec{F}) \, dV = \iiint_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} \, dV $$Che ha il bel risultato di rendere un integrale di superficie (2 dimensioni) come se fosse un integrale di volume. Assumendo il risultato descritto in #Superfice di separazione diventa banale però.
Osservazione: la divergenza prende in input un campo vettoriale, in output restituisce un campo scalare (che si potrebbe interpretare quasi fosse il modulo del vettore di derivata, con il gradiente ancora scalare).
Osservazione: questa forma diventa molto più intuitiva se direttamente andiamo a parlare di cubi infinitesimali (Mencuccini spiega per benino sta parte diciamo e arriva subito al risultato, senza passare per il discorso che non ho capito bene sul flusso in una qualunque forma infinitesimale).
Relazione divergenza e intuizione divergenza (!) 🟩+
si avrà che
$$ \frac{\oint_{\Sigma} \vec{F} \cdot dS}{dV} = div \vec{F} = \text{per il teorema che verrà dimostrato} = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} $$A parole: il flusso per unità di volume del nostro campo è uguale al gradiente del campo stesso.
Un modo molto più semplice per dimostrare questo, assumendo già di avere fatto la cosa del cubo è notare questo
$$ d\phi = \vec{\nabla}\cdot \vec{E} d\tau \implies \vec{\nabla}\cdot \vec{E} = \frac{d\phi}{d\tau} $$E nella seconda parte abbiamo esattamente il flusso per cubo infinitesimo.
Hint di dimostrazione Mi definisco un cubo, e poi provo ad analizzare il flusso per ogni 6 lato, provo a porre un cubo infinitesimo, e dovrebbe poi tornare Mencuccini pagina 29 è presente, sul Mazzoldi lo trovi a pagina 79.
Circuitazione
Intuizione di circuitazione e th separazione 🟩
In questa parte qui ci chiediamo il flusso lungo una linea CHIUSA. Probabilmente sarà utile per leggi come Lenz o Faraday. Anche in questo caso non ha senso considerare linee di separazione, perché avendo direzioni diverse si annullano. (guarda #Superfice di separazione descritto in precedenza.
Definizione di circuitazione
$$ \Gamma = \oint_{L} \vec{F} \cdot d\vec{l} $$Che possiamo notare essere una forma molto molto simile rispetto a quanto definito per il flusso #Flusso di campo vettoriale.
Posso fare un giochino (esattamente uguale a quello fatto in precedenza per la divergenza), ma lo faccio per piccole superfici, e flusso che gira attorno a quella superficie allora posso andare a definire il rotore
Il rotore e teorema di stokes 🟩-
Dividiamo tutta la nostra superficie con percorso chiuso in un sacco di piccoli pezzettini:
$$ \Gamma_{L} = \sum_{i=1}^{N} \oint_{L_{i}} \vec{F} \cdot d\vec{l_{i}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{ \oint_{L_{i}} \vec{F} \cdot d\vec{l_{i}}}{S_{i}} S_{i} $$Allora definisco rotore questo:
$$\frac{ \oint_{L_{i}} \vec{F} \cdot d\vec{l_{i}}}{s_{i}} = \vec{rot} \vec{F} \cdot \hat{n} $$Che intuitivamente è la circuitazione infinitesimale.
Questo è fatto a pagina 52
Teorema di stokes
Da questo ragionamento possiamo osservare che la circuitazione (che è anche il lavoro si potrebbe dire) si può esprimere come il rotore.
$$ \oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = \iint_{S_{L}} \vec{rot} \vec{F} \cdot \hat{n} \, ds $$Questo è il teorema di stokes, e si può applicare per qualsiasi circuitazione, per qualsiasi superficie che ha come contorno alla fine L.
Rotore dimostrazione 🟩
In questa parte proviamo ad esplorare la relazione che c’è fra il rotore, come l’abbiamo definito di sopra, e la divergenza.
Consideriamo un problema come in immagine
Vogliamo cerca di definire la circuitazione, proviamo ad applicare proprio la definizione, quindi abbiamo che
Supponiamo che la nostra funzione sia continua, quindi abbiamo che $\exists c : \int _{A}^{B}F(x, y_{0}) \, dx = (B - A)F(c, y_{0}) = \Delta xF(c, y_{0})$, questa cosa si può utilizzare per ogni singolo addendo della precedente, e scritto facendo in modo da contare anche le direzioni abbiamo che:
$$ \oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = \Delta x F(\hat{x}, y_{0}) + \Delta y F(x_{0} +\Delta x, \hat{y}) - \Delta x F(\hat{x}, y_{0} + \Delta y) - \Delta y F(x_{0}, \hat{y}) $$Raccogliendo il delta e facendo tendere sia $x$ che $y$ a 0, possiamo scrivere una cosa del genere:
$$ \Gamma = -\Delta x \left[ \frac{\delta F_{x}}{\delta y} \Delta y \right] + \Delta y \left[ \frac{\delta F_{y}}{\delta x} \Delta x \right] \implies \Delta x\Delta y \left( \frac{\delta F_{y}}{\delta x} - \frac{\delta F_{x}}{\delta y} \right) $$Si può notare che se intendiamo questo come sopra, durante la dimostrazione per il #Teorema di stokes, allora $\Delta x \Delta y$ è esattamente la superficie, orientata secondo $\hat{n}$, mentre, proprio per matching dei parametri, il rotore diventa $rot \vec{F} = \left( \frac{\delta F_{y}}{\delta x} - \frac{\delta F_{x}}{\delta y} \right)$ in questo caso, si potrebbe dire da un punto di vista a tre dimensioni, se avessimo il nostro quadratino in più dimensioni allora che
$$ \vec{rot}\vec{F} = \left( \frac{\delta F_{z}}{\delta y} - \frac{\delta F_{y}}{\delta z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\delta F_{x}}{\delta z} - \frac{\delta F_{z}}{\delta x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\delta F_{y}}{\delta x} - \frac{\delta F_{x}}{\delta y} \right) \hat{z} = \vec{\nabla} \times \vec{F} $$Si può notare che questo è strettamente legato al concetto di velocità angolare.
Divergenza del rotore (!) 🟩
Una volta espresso il rotore matematicamente come in precedenza (e sapendo anche il suo significato intuitivo di circuitazione per superficie), allora possiamo andare a fare cose interessanti come la divergenza che mi va a creare il rotore, ed è molto particolare come i calcoli portano poi alla fine ad affermare che
$$ \oint_{S} (\vec{\nabla} \times \vec{F}) d\vec{s} = \iiint_{V} div (\vec{\nabla} \times \vec{F}) d\vec{s} = \iiint_{V} \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{F}) d\vec{s} = 0 $$L’ultima uguaglianza lo abbiamo per cauchy, perché avremo delle derivate seconde, che si eliminano tutte fra di loro
Fisicamente forse mi sta dicendo che il rotore non crea flusso.
Note sul gradiente
Per qualche motivo è vero questa cosa:
$$ dV = \frac{\delta V}{\delta x}dx + \frac{\delta V}{\delta y}dy + \frac{\delta V}{\delta z}dz $$Questo è un risultato ovvio (che non so perché è ovvio, ma chatGPT https://chat.openai.com/share/c40e539d-9dd2-4bf7-b63d-2fc402751929) e altre ricerche sembrano dire questo del teorema del differenziale totale (che sembra se cercato in inglese ha significato giusto, in italiano diverso boh https://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative).
Comunque è la base matematica per poter utilizzare il gradiente e scrivere cose come
$$ dV = \nabla V \cdot ds $$Dove $ds = u_{x}dx + u_{y}dy + u_{z}dz$