Questo problema è stato trattato in modo un po’ più semplificato (nel caso in cui la carica era esattamente a metà in Campo elettrico#Dipolo elettrico). Questo problema è stato storico, utilizzato per analizzare l’atomo.

Potenziale del dipolo elettrico 🟩–

Per il principio di sovrapposizione possiamo affermare che

$$ V(P) = V_{r^{+}} + V_{r^{-}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r^{+}} - \frac{1}{r^{-}} \right) $$

Ora possiamo fare certe approssimazioni, supponendo che $r \gg a$ con $r$ la congiungente fra il centro del dipolo e il nostro punto e $a$ la distanza fra le cariche, possiamo affermare che

$$ r^{+} - r^{-} = -a \cos \theta $$

Sappiamo che l’angolo è lo stesso (più o meno), perché sappiamo che i due reggi sono ora paralleli (come assunsione di semplificazione) Inoltre abbiamo che $r^{+}r^{-} = r^{2}$ perché il punto è molto lontano allora possiamo affermare che

$$ \left( \frac{1}{r^{+}} - \frac{1}{r^{-}} \right) = \frac{a\cos \theta}{r^{2}} $$

a

$$ V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qa\cos \theta}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P\cos \theta}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{\vec{P}\cdot \hat{r}}{r^{2}} $$

1. Direttamente proporzionale al momento di tipolo
2. Inversamente proporzionale al quadrato del raggio.

Campo elettrico nel dipolo

Abbiamo che è uguale a

$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \vec{P} \cdot \frac{\hat{r}}{r^{3}} $$

Per trovare questo basta calcolare

$$ \vec{E} = -\vec{\nabla} V $$

Componente parallela 🟩

Basta osservare che

$$ \vec{E} = - \vec{\nabla}V = -\frac{\delta V}{\delta x}\hat{i} -\frac{\delta V}{\delta y}\hat{j} -\frac{\delta V}{\delta z}\hat{k} $$

Sappiamo che $\vec{P} = P\hat{k}$ e $\vec{r} = x\hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ allora abbiamo che $\vec{P} \cdot \vec{r} = Pz$ Poi abbiamo che $z = r \cos \theta$

Una volta esplicitato abbiamo che

$$ E_{z} = - \frac{\delta V}{\delta z} = -\frac{\delta}{\delta z} \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Pz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}} \right] = -\frac{P}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[ \frac{1}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}} + z \left( -\frac{3}{2} \right) \frac{2z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}} \right] $$ $$ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P}{r^{3}}\left[ \frac{3z^{2}}{r^{2}} - 1 \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P}{r^{3}}\left[ \frac{3r^{2} \cos ^{2} \theta}{r^{2}} - 1 \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P}{r^{3}}\left[ 3 \cos ^{2} \theta - 1 \right] $$

Nota : $E_{z} = E_{\parallel}$ dato che è parallela al dipolo.

Componente perpendicolare 🟨+

$$ E_{\perp} = \sqrt{ E_{x}^{2} + E_{y} ^{2} } $$

Calcoliamo $E_{x}$ che si può scoprire che è simmetrico rispetto $y$

$$ E_{x} = - \frac{\delta V}{\delta x} = \frac{\delta}{\delta x} \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Pz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}} \right] = -\frac{Pz}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{3}{2} \frac{2x}{r^{5}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{3xPz}{r^{5}} $$

e in modo equivalente con $y$

$$ E_{y} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{3yPz}{r^{5}} $$

In questo modo otteniamo che

$$ E_{\perp} = \frac{3}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Pz}{r^{5}}\sqrt{ y^{2} + x^{2} } = \frac{3}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{P}{r^{5}}r\sin \theta \, r\cos \theta = \frac{3}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{P}{r^{3}}\sin \theta \, \cos \theta $$

Passaggi sopra sono giustificati perché $\sqrt{ y^{2} + x^{2}} = r \sin \theta$ e anche che $z = r\cos \theta$ Che ha senso perché c’è simmetria circolare su quel piano. E vale praticamente per ogni punto nello spazio.

Analisi dei risultati (non fare)

$\theta=0$ abbiamo che $E_{\perp} = 0$ e rimane solamente

$$E_{\parallel} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{2P}{r^{3}} $$

Quindi è positivo, il campo.

$\theta=90$ questo è il caso trattato precedentemente. Abbiamo ancora che $E_{\perp} = 0$ e che

$$ E_{\perp} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{P}{r^{3}} $$

Che è coerente col risultato che abbiamo calcolato tempo fa.

Esercizio: In quale angolo si annulla $E_{\parallel}$ (analiticamente, basta l’angolo che annulla $3 \cos ^{2} \theta - 1$) Che è uguale a 54.71 gradi. Domanda: perché si annulla in qu

Con coordinate polari 🟥

Vedere 58 del Mazzoldi avremo che

$$ E = \frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}(2\cos \theta \hat{r}+ \sin \theta \hat{\theta}) $$

Si può riscrivere anche il momento di dipolo in coordinate polari, e questo permette una scrittura ancora più clean, in cui risalta che è la componente radiale del momento di dipolo la parte di interesse nella relazione:

Perché possiamo riscrivere il momento di dipolo in coordinate polari e usare quello:

$$ \vec{p} = p\cos \theta \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta} $$

Se si riesce a riscriverlo in questa forma, la cosa diventa molto clean, posso trovare le componenti asse e piano mediano del dipolo subito, plug and play diciamo. Infatti avremo che

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}(3p\cos \theta \hat{r} - \vec{p} )$$

Dipolo immerso in campo elettrico

NOTA: Posso assumere il valore di $\vec{E}$ come costante sulle due cariche perché tanto varia molto molto poco. Anche se non ho capito esattamente il ragionamento.

Supponiamo che la carica negativa sia posta su $\vec{r}$ quindi il sistema di riferimento è qualunque e che $r \gg a$.

Energia potenziale del dipolo 🟩

Usando esattamente il metodo trattato in Condensatori nel vuoto, basta applicare

$$ U(P) = qV(\vec{r} + \vec{a}) - qV(\vec{r}) = q\left[ V(x + a_{x}, y + a_{y}, z + a_{z}) - V(x, y, z) \right] $$

Si può notare che con l’assunzione $r \gg a$ è infinitesimo quindi è un differenziale di V Quindi

$$ U(P) = q \, dV(x, y, z) $$

Applicando il teorema che

$$ dV = \frac{\delta V}{\delta x}dx + \frac{\delta V}{\delta y}dy + \frac{\delta V}{\delta z}dz = \frac{\delta V}{\delta x}a_{x} + \frac{\delta V}{\delta y}a_{y} + \frac{\delta V}{\delta z}a_{z} =-E_{x}a_{x} -E_{y}a_{y} -E_{z}a_{z} $$

Quindi abbiamo che

$$ U(P) = q(-E_{x}a_{x} -E_{y}a_{y} -E_{z}a_{z}) = - P_{x}E_x - P_{y}E_y - P_{z}E_z = -\vec{P} \cdot \vec{E} = - PE\cos \theta $$

Mentre 0 allora l’energia è minima (se è minima allora è stabile in meccanica poi, seguendo questa giustificazione, allora diventa stabile quando $\theta = 0 deg$ quindi tende a stare parallelo al campo. L’equilibrio è instabile se è diverso da 0 gradi. Stabile se è 0

Momento di dipolo 🟩

$$ \vec{F}_{T} = q\vec{E}_{+} - q\vec{E}_{-} = 0 \iff \vec{E}_{+} =\vec{E}_{-} = \vec{E} $$

Per qualche motivo, il momento può essere calcolato rispetto a qualunque sistema di riferimento

$$ \vec{M}_{T} = \vec{r}_{+}\times \vec{F}_{+} + \vec{r}_{-}\times \vec{F}_{-} = \vec{r}_{+}\times q\vec{E} - \vec{r}_{-}\times q\vec{E} = (\vec{r}_{+} - \vec{r}_{-})\times q\vec{E} = \vec{a} \times q\vec{E} = \vec{P} \times \vec{E} $$

Quindi abbiamo che

$$ \lvert \vec{M}_{T} \rvert = PE\sin \theta $$

Questo è coerente con i valori di equilibrio instabile e stabile presenti per l’energia. Ossia possiamo scrivere:

$$ \vec{M} = \vec{P} \times \vec{E} $$

Distribuzione di carica

Prendiamo una distribuzione di carica qualunque nello spazio, di dimensione $d$ massima #### Momento di dipolo elettrico del sistema #### Potenziale di sistema 🟨+ Abbiamo che $\vec{r} = \vec{r}_{i} + \vec{d}_{i}$, allora posso assumere che $\vec{r}$ e $\vec{r}_{i}$ siano paralleli e dire che $$ r_{i} = r - d_{i}\cos \theta_{i} = r - \vec{d}_{i} \cdot \hat{r} $$ E con questo possiamo semplificare molte cose, ma guardiamo: $$ V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r - \vec{d}_{i}\hat{r}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}(r + \vec{d}_{i}\hat{r})}{r^{2} - d_{i}^{2}} \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}(r + \vec{d}_{i}\hat{r})}{r^{2}} $$

Per concludere definisco $\vec{P} = \sum_{i=1}^{N}q_{i}\vec{d}_{i}$ questo è il momento di dipolo elettrico del sistema, perché sto semplicemente sommando il dipolo di tutte le singole cariche.

$$ V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}\vec{d}_{i}\hat{r}}{r^{2}}

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r} + \frac{\vec{P} \cdot \hat{r}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} $$ Il primo di questi si chiama termine di monopolo $V_{0}$, mentre il secondo è il termine di dipolo $V_{DP}$. Il primo spiega Potenziale con sé stesso al centro, indipendente dalla distribuzione. Come se stessi ammassando tutta la carica in un punto e calcolando il potenziale lì. Il secondo termine mi dà informazioni del potenziale al variare della distribuzione di carica. (concettualmente dice prof. Zoccoli che questo è equivalente alla torque nei corpi rigidi, che concentri tutta la massa sull’asse per calcolare la torque)

Conseguenza importante: Anche un atomo neutro può generare un campo elettrico nello spazio, che è dato dal termine di dipolo

Monopolo vs Dipolo grandezza 🟩–

Abbiamo con una approssimazione che

$$ \lvert \vec{P} \rvert = \left\lvert \sum_{i} q_{i}\vec{d}_{i} \right\rvert \approx \left\lvert \sum_{i} q_{i} \right\rvert d = Qd $$

Se usiamo questa approssimazione allora abbiamo che

$$ \frac{V_{DP}}{V_{O}} = \frac{Qd}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \frac{4\pi\varepsilon_{0}r}{Q} = \frac{d}{r} \ll 1 $$

Ma nel caso in cui è neutro, allora l’unico campo che c’è è il termine di dipolo! Quindi bisogna contare per avere il campo.

Termine dipolo nullo 🟩

Abbiamo che

$$ Q_{T} = 0 = Q_{+} + Q_{-} = \sum_{i}\lvert q_{i}^{+} \rvert - \sum_{i}\lvert q_{i}^{-} \rvert $$

Allora abbiamo che

$$ \vec{P} = \sum_{i}^{N}q_{i}\vec{a}_{i} = \sum_{i}^{N}\lvert q_{i}^{+} \rvert \vec{d}_{i}^{+} - \sum_{i}^{N} \lvert q_{i}^{-} \rvert \vec{d}_{i}^{-} $$

Simile alla media pesata di tutte le masse per la massa totale, mi trovo ora qui il centro di massa per le cariche, lo faccio per positive e negative in modo separato.

$$ \vec{d}^{+} = \frac{1}{Q}\sum_{i=1}^{N} \lvert q_{i}^{+} \rvert \vec{d}_{i}^{+} $$

Esattamente la stessa cosa per $\vec{d}^{-}$. Scritto in questo modo abbiamo che

$$ \vec{P} = Q\vec{d}^{+} - Q\vec{d}^{-} = Q(\vec{d}^{+} - \vec{d}^{-}) = Q\vec{\delta} $$

Ossia il termine di dipolo si può riassumere come differenza del centro fra le cariche positive e negative. Se non hanno stesso centro allora ho un campo elettrico (questo è coerente col caso classico di dipolo a due cariche!). E questo è vero sempre! è anche il motivo per cui l’acqua è carica, perché ha un momento di dipolo!