Introduzione
Intuizione del campo elettrostatico
Elettrostatico vs elettrodinamico 🟩
Andiamo a chiamare elettrostatico perché nel nostro caso non si sta muovendo nessuna carica all’itnerno di questo campo.
Proprietà del campo elettrostatico (5) 🟨
- Le linee di forza in ogni punto dello spazio sono tangenti e concorde al campo in quel punto;
- le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo e maggiore;
- le linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni punto il campo è definito univocamente e non può avere due direzioni distinte.
- le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sul cariche negative; qualora ci siano solo cariche dello stesso segno le linee di forza si chiudono all’ infinito;
- nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, tutte le linee the partono dalle cariche positive si chiudono su quelle negative (induzione completa), alcune passando eventualmente per l’infinito; se invece le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall’ infinito.
Carica esploratrice 🟩
È anche chiamata carica di prova, è una carica fittizia messa per esplorare la struttura del campo elettrico in un certo spazio
$$ \vec{E}(\vec{r}) = \lim_{ q \to 0 } \frac{\vec{F}}{q} $$in questo caso $q$ è una carica di prova, talmente piccola che non varia il campo, utilizzato per sondare il valore del campo in un certo punto. Da un punto di vista intuitivo, costruiamo la linea passo passo, a tratti infinitesimi, e componiamo tutto lo spazio con queste.
Campo come grandezza 🟩
Il campo elettrico è proprio una grandezza fisica (ossia una proprietà misurabile di un oggetto non è solo una cosa comoda matematicamente), che è solitamente utilizzata per conoscere la forza applicata dal campo elettrico in un certo punto. È una caratteristica dello spazio e una carica è in grado di modificare questo aspetto.
Si rappresentano uscenti se positiva, entrante se negativa
Definizione di campo elettrico 🟩
$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}} \hat{R} $$Dove $Q$ è la sorgente di carica, si può usare il principio di sovrapposizione anche in questo caso
Flusso di campo vettoriale 🟩
Dato un certo campo vettoriale, il flusso studia la relazione fra questi e una superficie a scelta. Intuitivamente si potrebbe dire quante linee di campo attraversano quella superficie.
$$ \phi_{S}(\vec{F}) = \iint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \iint_{S} \vec{F} \cdot \hat{n} \, ds $$
Con $\hat{n}$ indicato per marcare che deve essere orientato e perpendicolare alla superficie considerata.
Esempio di vettori normali alla superficie, nel nostro esempio il valore di $\hat{n}$.
Campo tangenziale e parallelo 🟩
Questa parte la devo ancora scrivere per bene, in breve andiamo a trattare della discontinuità del flusso di fronte a una superficie carica, e il fatto che la circuitazione parallela è 0. La discontinuità è trattata a pagina 79 del Mazzoldi.
Questa parte serve per spiegare alcune proprietà del campo nei materiali conduttori trattata in Conduttori elettrici.
Questo è necessario per poter spiegare la rifrazione nei mezzi, vedi Condensatori con dielettrici.
Problemi classici
Dipolo elettrico
Fatto (molto) meglio in Dipolo elettrico
Introduzione al problema del dipolo elettrico 🟩
Questo sarà uno dei nostri primi problemi (e probabilmente anche fra le più semplici che ci permetteranno di analizzare il campo). Abbiamo due cariche (stessa carica assoluta), una positiva e una negativa, vogliamo andare a capire come è fatto il campo elettrico attorno a queste cariche.
Modellizzazione del problema dipolo elettrico 🟨+
$$ \vec{E}_{tot} = \vec{E}_{+} + \vec{E}_{-} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}\left( \frac{\hat{R}_{+}}{R^{2}_{+}} + \frac{\hat{R}_{-}}{R^{2}_{-}} \right) $$$$ \vec{E}_{tot} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{R^{3}}\left( \left( y \hat{j} - \frac{d}{2} \hat{k} \right) - \left( y \hat{j} + \frac{d}{2} \hat{k} \right) \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{R^{3}} (-d \hat{k}) $$Il valore $-d Q\hat{k}$ avrà un significato speciale, sarà il momento di dipolo
Il momento di dipolo (2) 🟩
- Direttamente proporzionale fra $d$, la distanza fra le cariche e $q$ la quantità di carica delle due.
- Mi da informazioni sulla geometria e sulla carica del sistema
Per questo è comodo poter analizzare un caso così semplificato di dipolo
Distribuzione di carica uniforme lineare infinita
Questa sarà la nostra seconda applicazione del concetto di campo e di sovrapposizione che conosciamo
Introduzione problema carica uniforme lineare 🟩
Abbiamo sull'asse $Z$ una distribuzione uniforme lineare, vogliamo cercare di capire come è fatto il campo in questo caso
#### Modellizzazione problema carica uniforme lineare infinita 🟩
Consideriamo un punto $P$ come in figura, sia dato un piccolissimo contributo di campo $d \vec{E}$, vogliamo cercare di capire come è fatto questo contributo per l'intera linea lineare.
Possiamo fare una osservazione di simmetria e affermare che la componente $z$ si elimina (ad ogni carica corrisponde una uguale e contraria)., mentre la componente $x$, quella che esce o entra dal piano è inesistente per come è fatto il sistema
$$
E_{y} = \int \lvert d\vec{E} \rvert \cos \theta = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}} \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{dz}{r^{2}} \cos \theta
$$$$
dz = r' \, \frac{ d \tan\theta}{d\theta}
$$Perché così abbiamo espresso totalmente l’altezza in funzione dell’angolo, è un trick che è stato usato molto spesso quindi è molto importante che te lo impari.
$$ \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{dz}{r^{2}} \cos \theta = \int _{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\theta}{r'}d\theta $$$$ E_{y} = \frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}} \frac{\lambda}{r'} $$Osservazione variare campo elettrico al variare dei problemi visti 🟩
Un osservazione interessante è che il campo elettrico è
- Singola carica -> $\frac{1}{r^{2}}$
- Dipolo elettrico -> $\frac{1}{r^{3}}$
- Lineare -> $\frac{1}{r}$
Miscellanea: problemi semplici
Flusso in una sfera 🟩
Questa è una semplicissima applicazione della definizione di flusso. Consideriamo una sfera, poniamo il sistema di riferimento al centro di questa sfera, ci chiediamo quanto è il flusso del campo radiale che varia come $\vec{F} = k \vec{r}, \vec{r} = (x, y , z)$?
$$ \phi_{s}(\vec{F}) = \oint \vec{F} \cdot d\vec{s} = \iint k \vec{r} \cdot d\vec{s} = kr \iint ds =4\pi r^{3}k $$Potenziale elettrostatico
Mosso in Potenziale Elettrostatico il 18 Febbraio 2025.