Gruppi

Definizione gruppo

Qualunque insieme più operazione tale per cui:

1. Esistenza dell’inverso per ogni elemento $\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G : gg^{-1} = e$
2. Esistenza di un elemento neutro $\exists e \in G: \forall g \in G, eg = g$
3. Associatività: $(gh)f = g(hf)$
4. Closure: $\forall g, h \in G \implies gh \in G$

Unicità dell’elemento neutro

Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi neutri $e, f$ Allora abbiamo che $ae = a = af$ però se moltiplichiamo per l’inversa abbiamo che $a^{-1}ae = a^{-1}af \implies e = f$

Unicità dell’inverso

Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi inversi per ogni $a \in G$ Sia $a$ un elemento e gli inversi $a_{1}$ e $a_{2}$, allora abbiamo: $aa_{1} = e = aa_{2}$ ma se moltiplico a sinistra per l’inversa abbiamo

$a_{1}aa_{1} = a_{1}aa_{2} \implies ea_{1} = ea_{2} \implies a_{1} = a_{2}$ Dove abbiamo utilizzato anche l’associatività.

Proprietà di cancellazione

È ovvio se moltiplichiamo per le cose giuste.

L’inverso del prodotto

Enunciato: $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ e per gruppi abeliani abbiamo $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$

La dimostrazione è molto semplice ed è lasciato al visitatore :D

Test per gruppo

Ordine di gruppo e di elemento

L’ordine di un gruppo è la cardinalità dell’insieme, L’ordine dell’elemento del gruppo è la potenza a cui si eleva questo elemento per avere il neutro

Test unico per il sotto-gruppo

$$ \forall a,b \in H ,H \subseteq G, ab^{-1} \in H \implies H \text{ is a subgroup of G} $$

Se vale questa proprietà possiamo già avere un sottogruppo! Quindi è abbastanza comodo!

Dimostrazione:

1. Associatività si ha per $G$.
2. Se prendo $a, a$ come la coppia abbiamo che $aa^{-1}=e$ appartiene a $H$, quindi c’è l’elemento neutro.
3. Se prendo $e, a$ vedo che $a^{-1} \in H$.

Quindi abbiamo che vale.

Test doppio per il gruppo

Mostrare che sia chiuso rispetto all’operazione e ci sia sempre l’inverso. Questo in pratica va per la #Definizione gruppo come espresso sopra!

Test per gruppi finiti

Mostrare solamente che sia chiuso per l’operazione (nella dimostrazione di deve mostrare che è chiuso per l’inverso, cosa che si va per il terzo escluso

Sottogruppi

Sottogruppi generati da un elemento (ciclico)

• Dimostrazione

Osservazione:

Ogni sottogruppo generato in questo modo è abeliano, perché è in isomorfismo con il gruppo additivo Z (si vedrà dopo di questo isomorfismo)

Il centro di un gruppo è un sottogruppo

• Dimostrazione enunciato in h3

  

• Esempio: centro di gruppi diedrali

  

Centralizzatore di un gruppo è un sottogruppo

Osservazione: quando il centralizzatore è l’intero gruppo, l’elemento su cui stiamo centralizzando è esattamente il centro.

• Dimostrazione Analoga alla precedente del centro

Group actions

Intuitively, a group action modifies a set, without changing some interesting property (structure preserving).

It is a function $\alpha: G\times \Omega \to \Omega$ of group $G$ acting on set $\Omega$ that satisfies this relation:

• $\alpha(g, \alpha(h, u)) = \alpha(gh, u)$ meaning if i apply an action, then another action, is the same as applying the composition of the action. This is called compatibility.
• $\alpha(e, u) = u$ has a identity application. For brevity we will omit the $\alpha$ and $\alpha(gh, u)$ will be written as $(gh)u$.

$\Omega$ acting on $X(\Omega, C)$ follows that $(gx)(u) = x(g^{-1}u)$ why is this true?