Gruppi

Definizione gruppo

Qualunque insieme più operazione tale per cui:

1. Esistenza dell'inverso per ogni elemento $\forall g\in G,\exists g^{-1}\in G:g{g}^{-1}=e$
2. Esistenza di un elemento neutro $\exists e\in G:\forall g\in G,eg=g$
3. Associatività: $(gh)f=g(hf)$
4. Closure: $\forall g,h\in G⟹gh\in G$

Unicità dell’elemento neutro

Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi neutri $e,f$ Allora abbiamo che $ae=a=af$ però se moltiplichiamo per l'inversa abbiamo che $a^{-1}ae=a^{-1}af⟹e=f$

Unicità dell’inverso

Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi inversi per ogni $a\in G$ Sia $a$ un elemento e gli inversi $a_1$ e $a_2$, allora abbiamo: $a{a}_1=e=a{a}_2$ ma se moltiplico a sinistra per l'inversa abbiamo

$a_{1}a{a}_1=a_{1}a{a}_2⟹e{a}_1=e{a}_2⟹a_1=a_2$ Dove abbiamo utilizzato anche l'associatività.

Proprietà di cancellazione

È ovvio se moltiplichiamo per le cose giuste.

L’inverso del prodotto

Enunciato: $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ e per gruppi abeliani abbiamo $(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$

La dimostrazione è molto semplice ed è lasciato al visitatore :D

Test per gruppo

Ordine di gruppo e di elemento

L'ordine di un gruppo è la cardinalità dell'insieme, L'ordine dell'elemento del gruppo è la potenza a cui si eleva questo elemento per avere il neutro

Test unico per il sotto-gruppo

$$\forall a,b\in H,H\subseteq G,a{b}^{-1}\in H⟹H\text{ is a subgroup of G}$$

Se vale questa proprietà possiamo già avere un sottogruppo! Quindi è abbastanza comodo!

Dimostrazione:

1. Associatività si ha per $G$.
2. Se prendo $a,a$ come la coppia abbiamo che $a{a}^{-1}=e$ appartiene a $H$, quindi c'è l'elemento neutro.
3. Se prendo $e,a$ vedo che $a^{-1}\in H$.

Quindi abbiamo che vale.

Test doppio per il gruppo

Mostrare che sia chiuso rispetto all'operazione e ci sia sempre l'inverso. Questo in pratica va per la #Definizione gruppo come espresso sopra!

Test per gruppi finiti

Mostrare solamente che sia chiuso per l'operazione (nella dimostrazione di deve mostrare che è chiuso per l'inverso, cosa che si va per il terzo escluso

Sottogruppi

Sottogruppi generati da un elemento (ciclico)

• Dimostrazione

Osservazione:

Ogni sottogruppo generato in questo modo è abeliano, perché è in isomorfismo con il gruppo additivo Z (si vedrà dopo di questo isomorfismo)

Il centro di un gruppo è un sottogruppo

• Dimostrazione enunciato in h3

  

• Esempio: centro di gruppi diedrali

  

Centralizzatore di un gruppo è un sottogruppo

Osservazione: quando il centralizzatore è l'intero gruppo, l'elemento su cui stiamo centralizzando è esattamente il centro.

• Dimostrazione Analoga alla precedente del centro

Group actions

Intuitively, a group action modifies a set, without changing some interesting property (structure preserving).

It is a function $\alpha :G\times \Omega \to \Omega$ of group $G$ acting on set $\Omega$ that satisfies this relation:

• $\alpha (g,\alpha (h,u))=\alpha (gh,u)$ meaning if i apply an action, then another action, is the same as applying the composition of the action. This is called compatibility.
• $\alpha (e,u)=u$ has a identity application. For brevity we will omit the $\alpha$ and $\alpha (gh,u)$ will be written as $(gh)u$.

$\Omega$ acting on $X(\Omega ,C)$ follows that $(gx)(u)=x(g^{-1}u)$ why is this true?