Leggi di Ohm

Gli argomenti della lezione 31 Ottobre sono circa da pagina 164 fino a 185 del mazzoldi.

Leggi di Ohm

Introduzione microscopica

Sappiamo che

$$\vec{J}=-ne{\vec{v}}_d=n{e}^{2}t\frac{\vec{E}}{m}$$

Vedi analisi della velocità di deriva col modello del 1900 in Corrente Elettrica.

Dove abbiamo utilizzato la definizione di densità di corrente e la velocità fra collisioni ed altre Questo è una motivazione per considerare la densità di corrente come se fosse nello stesso verso.

Da questo notiamo che dipende solamente dal materiale perché abbiamo $t$ che è il tempo che intercorre fra collisione uno e due, mentre $n$ è la densità di elettroni per unità di volume, anche questo dipendente dal materiale, poi $e$ ed $m$ sono costanti universali.

Possiamo rispondere a questo assumendo un parametro dipendente dal mezzo, e la regola diventa allora:

$$\vec{J}=\sigma \vec{E}$$

Dove $\sigma$ è il tensore di conducibilità elettrica Questo si può riscrivere anche in

$$\vec{E}=\rho \vec{J}$$

Dove $\rho$ è la resistività, e si ha $\rho =\frac{1}{\sigma }$

Nota: c'è qualcosa con i semiconduttori o cose drogate, che puoi scomporre la parte di sopra con cariche negative o positive, questa cosa è da approfondire sul libro, perché non la ho capita oggi a lezione Vedi 6.7 mazzoldi c'è scritto.

Potenza e densità elettrica

Chiamiamo $P_{\tau }$ come la potenza per unità di volume, che ricordiamo la derivata del lavoro per il tempo. Ricordando che $P=\frac{dW}{dt}=\frac{\vec{F}ds}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$

$$P_{\tau }=nP=n\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=ne{\vec{v}}_d\cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \vec{E}$$

Si può riscrivere con la legge di Ohm, e abbiamo che

$$P_{\tau }=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$$

Resistenza nei fili

Consideriamo un cilindro (che sarà il nostro filo) con superficie $S$ verticale e lunghezza $L$, consideriamo due lati $A$ e un lato $B$ Assumiamo di avere una batteria che crea un campo costante: Allora abbiamo:

$$V_A-V_B={\int }_A^B\vec{E}d\vec{l}=EL$$

Abbiamo che che

$$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{s}=JS⟹J=\frac{I}{S}$$

Ora usiamo la relazione fra campo elettrico e densità di corrente, e otteniamo che

$$V_A-V_B=\rho JL=\rho L\frac{I}{S}=\frac{\rho L}{S}I=RI⟹V=RI$$

Chiamo la resistenza questo valore

$$R=\frac{\rho L}{S}$$

Perché dipende solamente dalla geometria del filo che abbiamo preso. Possiamo definire anche lo stesso concetto per conduttori non lineari (quindi forme a piacere) Per questo si può generalizzare con

$$R={\int }_A^B\frac{\rho }{\Sigma }dl$$

Seguendo quanto c'è in immagine.

Quando abbiamo ai capi di un conduttore una differenza di un volt, si ottiene una corrente di un ampere, e questo è l'ampere.

Legge di Ohm della conduzione elettrica

Vedi mazzoldi pagina 170.

$$\sigma =\frac{n{e}^2{\tau }_{+}}{m_{+}}+\frac{n{e}^2{\tau }_{-}}{m_{-}}$$

È semplicemente un modello vecchio in cui andiamo a distinguere i portatori di carica negativa e positiva con delle masse diverse (e quindi velocità di deriva diversa). Per il resto resta la stessa derivazione di sopra.

La legge in question (legge di Ohm della conduzione elettrica) è:

$$\vec{J}=\sigma \vec{E}$$

Dove la densità di corrente è relazionata al campo elettrico generato solamente da variabili fisiche riguardanti la composizione del metallo e costanti elementari come massa di portatori di carica.

Il regime stazionario

Che ha senso solo in regime stazionario ossia in cui il campo elettrico non varia, ed è costante. Un altro modo per dirlo è che in ogni punto passa sempre la stessa corrente quindi il flusso del $\vec{J}$ è 0. Ossia

$$\oint \vec{J}d\vec{S}=0$$ $$\vec{\nabla }\cdot \vec{J}=0$$

Resistività e temperatura

Intuitivamente se aumenta l'agitazione termica, aumenta la resistività perché c'è più agitazione, quindi più incontri, si ha una legge del tipo:

$$\rho ={\rho }_{20}(1+\alpha \Delta T)$$

Il grafico è piatto fino a un certo punto, poi va su in modo lineare. Nei semiconduttori il coefficiente è negativo.

Supponiamo di avere una forma cilindrica a piacere, abbiamo che

$$dP=P_{\tau }\Sigma dh=\rho J^2\Sigma dh=\frac{\rho i^2}{\Sigma }dh⟹P=\int dP={\int }_{\tau }\frac{\rho i^2}{\Sigma }dh=I^2{\int }_{\tau }\frac{\rho }{\Sigma }dh=R{I}^2$$

integrando questo riesco a trovare la potenza dissipata in conduttore Si può fare anche in altro modo partendo con la potenza

$$P=\frac{dW}{dt}=\frac{Vdq}{dt}=\frac{Vidt}{dt}=VI$$

E si può scrivere anche come

$$P=\frac{V^2}{R}$$

Noi paghiamo in $W=R{I}^{2}t$ che sono ikilowattora. il riscaldamento si chiama effetto Joule.

Legge di Ohm generalizzata

Per ogni ramo dovrei mettere la differenza di potenziale più tutte le forze elettromotrici meno tutte le cadute. Si scrive:

$$V_A-V_B+{\Sigma }_k{\epsilon }_k=R_{T}i$$

Questa è un caso generale della legge di Kirchhoff alle maglie descritta dopo

Potenza per unità di volume

Vedi Mazzoldi pagina 170

$$P_{\tau }=nP=\rho J^2=\sigma E^2$$

Questo si può riscrivere come

$$P_{\tau }=\vec{J}\cdot \vec{E}$$

L'abbiamo ricavato anche in Magnetismo parlando di Poynting, in qui possiamo relazionarlo utilizzando le equazioni di Maxwell anche col campo magnetico.

Resistori in serie e parallelo

Una cosa da notare è che saldare assieme è una altra resistenza non considerata, comunque è piccola, quindi approssimiamo che ciò che è filo non la valutiamo, è trascurabile. Una cosa importante da notare è che in questi casi è utile utilizzare resistenze di valore simile altrimenti in serie prevarrà la resistenza grossa, in quella parallela la resistenza piccola.

Serie

L'osservazione principale per spiegare questo è il fatto che la corrente che passa è la stessa Abbiamo $V_A-V_B=i{R}_1$ e $V_B-V_C=i{R}_2$

Quindi:

$$i{R}_{eq}=V_A-V_C=R_{1}i+R_{2}i$$

Anche la potenza è semplicemente una cosa lineare!

Parallelo

In questo caso la differenza di potenziale è la stessa dato che $V_A-V_B$ è un valore condiviso, in questo caso la corrente si dividere in modo inversamente proporzionale alla resistenza. Quindi abbiamo

Sia $V=V_A-V_B$, allora $V=i_1{R}_1$ e che $V=i_2{R}_2$, quindi

$$i=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}⟹\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

Che è esattamente il contrario di quanto abbiamo visto nei Condensatori nel vuoto per quanto riguarda i circuiti. Riguardo la potenza si comporta bene lo stesso, seguendo questa relazione.

Generatori di FEM

Introduzione ai generatori FEM

Def forza elettromotrice

si basano sul concetto introdotto molto tempo fa:

$$\epsilon ={\oint }_{\Sigma }\vec{E}d\vec{l}$$

Ed è qualcosa che permette di scorrere la corrente per tanto tempo. Un condensatore non sarebbe buono perché si scarica. È presente nel circuito un campo elettrico che non è conservativo, diverso rispetto a quello costante che viene sentito all'interno del circuito! Dato che applicando le leggi di sopra non c'è la circuitazione nulla.

Questo è un caso in non valgono le leggi conservative che abbiamo studiato per un mese e mezzo, trattate in Campo elettrico nella sezione elettromotrice.

Derivazione forza elettromotrice

Esiste una piccola corrente interna del generatore Allora il nostro generatore produrrà una forza uguale a

$$W=Pt=i^2(R+r)t$$

O in altro modo:

$$W=\epsilon q=\epsilon it$$

Questo è valido perché

$$P=\frac{dU}{dt}=\frac{dqV}{dt}=iV$$

Quindi abbiamo una relazione sulla potenza spesa da un circuito in relazione alla variazione di differenza di potenziale elettrico.

Messi insieme queste due equazioni abbiamo:

$$\epsilon =(R+r)i$$

Che notiamo è lo stesso valore per la differenza di potenziale elettrico per un circuito semplice

Campo elettrico elettromotore

Trattato a pagina 181 del Mazzoldi

Dentro ai poli il campo elettrico è opposto rispetto a quello del campo elettrico esterno! Il capo interno è il campo elettrico elettromotore che non è conservativo, siamo fuori dall'elettrostatica. $E^{\ast }$ è solamente il campo interno.

Abbiamo allora

$$\epsilon ={\oint }_{\vec{E}}d\vec{l}={\int }_A^B{\vec{E}}_{esterno}d\vec{l}+{\int }_B^A{\vec{E}}_{\text{interno}}+{\vec{E}}_{conservativa}d\vec{l}$$

Il primo è elettrostatico, quindi sappiamo che rimane solamente zero (con anche il suo apporto all'interno della fem), quindi abbiamo che

$$\epsilon ={\int }_B^A{\vec{E}}_{\text{interno}}d\vec{l}$$

Quindi internamente abbiamo un campo $E=E^{\ast }+E_{el}$ mentre all'esterno c'è solamente il campo statico.

Misura fem

Nel caso in cui $i=0$ è molto semplice, basta prendere la differenza di potenziale ai due capi: $V_A-V_B=\epsilon$ e sappiamo che il campo elettrico all'interno della fem è 0 Ossia $E^{\ast }+E_{el}=0$

A differenza se c'è corrente avremo dei risultati diversi.

Ramo

Definizione

Una parte di filo, parte del circuito fra più nodi, in cui circola una certa corrente.

Prima legge di Kirchhoff ai nodi

La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nullo

La corrente che entra è uguale a quello che esce

$${\Sigma }_k{i}_k=0$$

È causa del principio di conservazione della carica, espressa alla fine in modo diverso.

Seconda legge di Kirchhoff alle maglie

La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica dei prodotti $R_k{i}_k$

$${\Sigma }_k{R}_k{i}_k={\Sigma }_k{\epsilon }_k$$

Questo vale solo se il ramo è chiuso, altrimenti bisogna aggiungere in RHS una componente per la differenza di potenziale in quei due punti.