Limiti

Riguardare Successioni per avere primo attacco sui limiti

4.1 Limiti finiti al finito

4.1.1 Intorno sferico

Dato l'insieme $\mathbb{R}$ si definisce l'intorno sferico aperto di $x\in \mathbb{R}$ di raggio $r\in \mathbb{R}$ l'insieme $I_r(x)=(x-r,x+r)$ questa nozione è molto importante per definire il limite. Lo useremo subito su un punto di accumulazione

4.1.2 Punto di accumulazione

Un punto di accumulazione $x$ di un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ è un punto tale per cui mi posso avvicinare in modo indefinito in quel punto. Infatti deve $\forall r>0\in R,\exists x_1\in A:x_1\in I_r(x)\wedge x_1\ne x$ ossia per cui $A\cap I_r(x)\ne \varnothing$.

Ecco che se mi avvicino in modo indefinito, possiamo definire per bene il limite tra poco.

4.1.3 Accumulazione per successioni

Un punto si può definire di accumulazione per una successione $a_n$ se si ha che

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=x$ con x punto di accumulazione. e $\forall n\in \mathbb{N},a_n\ne x$

4.1.4 Limite finito

Questo è il limite finito per una funzione

$$\forall ϵ>0,\exists \delta \in \mathbb{R}:0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-y|<ϵ$$

In pratica comunque prendo un valore vicino al valore y di limite, (quindi sto definendo la mia $ϵ$ deve esistere sempre un $\delta$ tale che valga quella roba.

La soluzione tipica per la dimostrare di tale cosa è partire dalla tesi e scomporla, trovare che se x appartiene a un certo intervallo continuo allora possono sempre trovare un sottoinsieme di questo intervallo che sia $\delta$.

4.2 Teoremi dei limiti

4.2.1 Permanenza del segno

Se il limite positivo allora esiste un x per cui f(x) è positivo, ma lo dovresti dimostrare (dovrebbe essere ovvio considerando l'intorno di $\delta$ per cui vale $\epsilon$

Dimostrazione permanenza del segno

Teorema dei Carabinieri

Quando una funzione si possa schiacciare all'interno di due altre funzioni ha lo stesso limite. Questo in modo intuitivo ma si potrebbe fare anche molto di più...

4.2.3 Alcuni limiti notevoli (!)

${\lim }_{x\to 0}\sin (x)=1$ con i carabinieri per 0 e x ${\lim }_{x\to 0}\cos (x)=0$ con duplicazione e altre osservazioni ${\lim }_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Queste sono i limiti notevoli di base per trigonometriche e esponenziali (o logaritmiche) Esistono anche alcuni limiti notevoli riguardanti il confronto fra le funzioni polinomiali, esponenziali o fattoriali.

Dimostrazione perimetro e area cerchio (!)

Ti ricordi come si fa la dimostrare il valore dell'area e del perimetro del cerchio utilizzando il limite noto? Un modo semplice è integrale, ed è ciò che ogni universitario che abbia studiato un poco di analisi farebbe.

4.3 Limiti finiti all'infinito

4.3.1 Definizione

Definiamo il limite di una funzione x tende a x_0 è uguale a più o meno infinito nel caso in cui:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty ⟺\forall M\in \mathbb{R},\exists \delta :0<|x-x_0|<\delta ⟹f(x)>M$$

In modo simile si può dire per il limite che tende a un valore infinito negativo

4.3.2 Limiti destri e sinistri

È molto simile alla definizione normale di limite, ma solo che invece di considerare un intorno completo di x debbo avere una parte, quindi invece di $0<|x-x_0|<\delta$ ho che deve essere che $x_0-\delta <x<x_0$ per intorni sinistri e in modo simile per intorni destri ho che $x_0<x<x_0+\delta$

Il resto della definizione è tutto uguale.

4.3.3 Relazione limite e l destro e l sinistro

Si potrebbe dimostrare questa proprietà:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L⟺\{\begin{array}{l}\exists \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x),\exists \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\\ \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=L\end{array}$$

4.4 Limiti all'infinito

Si possono trovare 3 casi:

$\forall \epsilon ,\exists \delta =\delta (\epsilon )>0:\forall x\in A:x>\delta$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\{\begin{array}{l}l⟺|f(x)-l|<ϵ\\ +\infty \\ -\infty \end{array}$$

4.4.1 Esercizi algebra dei limiti

4.4.2 Limiti di polinomi

Si dimostra che per limite di x tendente a x0 con la funzione lineare che è uguale a x, poi si espande questo con i teoremi di algebra dei limiti e la moltiplicazione con le costanti in modo che il limite dei polinomi sia coincidente con il limite degli addendi moltiplicazioni e simili.

Con la definizione di limite fatta in seguito si ha che tutti i polinomi sono continui nel proprio dominio naturale.

Funzione continua

Definizione

$\forall x_0\in A,A\subseteq \mathbb{R}$ allora deve essere che $x_0\notin D(A)$ con $D(A)$ l'insieme dei punti di accumulazione di A.

$$x_0\in D(A)⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

con il limite definito come prima. E si scrive in questo modo $f\in C(A)$, data una funzione nello spazio di funzione $A^{\mathbb{R}}$

Osservazioni La continuità di una funzione è interessante perché definisce una regolarità della funzione. (anche se significa anche che possiamo tracciare la funzione senza lasciare la matita dal foglio).

4.5.2 Continuità destra e sinistra

Dalla definizione di funzione continua espansa si può dedurre che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)\{\begin{array}{l}\exists {\lim }_{x\to x_0}f(x)\\ \exists {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x),\exists {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x),\\ {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x),={\lim }_{x\to x_0}f(x)\end{array}$$

4.5.3 Continuità per inverse

• Dimostrazione (non richiesta)

Non viene dimostrato ma, se è definita una funzione continua per una certa funzione, allora è continua anche la sua inversa. Per qualche motivo magico.

Questo teorema è importante per la dimostrazione della derivabilità dell'inversa (quindi per avere una base per dimostrare la derivabilità dell'inversa

Teorema degli zeri

Lemmi preliminari per THZero

Primo (dim)

• Enunciato

sia data una successione bn appartenente a $\mathbb{R}$ sempre positiva o sempre negativa tale che il limite di bn appartiene a $\mathbb{R}$ allora il limite ha lo stesso segno della successione o è nulla.

Si dimostra per assurdo ponendo il limite il contrario (si apre poi il limite e si sceglie un epsilon carino che mi porti a questa contraddizione).

Secondo (no dim)

Data una funzione da A a $\mathbb{R}$, prendiamo x un punto di accumulazione di A tale che f sia continua in questo punto allora. Per ogni successione xn appartenente ad A che converga a x si ha che f(xn) tende a f(x)´´

THZero

data una funzione continua in [a,b] in R allora se $f(a)f(b)<0⟹\exists c\in ]a,b[:f(c)=0$

Ossia, in modo intuitivo, dato un rettangolo tagliato da una linea, se prendo due punti nelle due parti, allora se provo a congiungere questi due punti si ha che deve tagliare la linea in almeno un punto.

DIM

$$\begin{gathered} \lim a_n=\lim b_n=c \\ f(c)=0 \end{gathered}$$

Bisogna dimostrare queste due cose.

Si utilizza una divisione diadica in due parti, un algoritmo di costruzione costruttiva.(se l'algoritmo finisce è banale.

Voglio costruire due successioni, una sempre negativa una sempre positiva, entrambi devono tendere a 0, così lo trovo.

• Proprietà di queste successioni

  

Da queste proprietà ho ottenuto che entrambe le successioni sono limitate e sono crescenti o decrescenti, quindi per dimostrazione precedente esiste un limite che non conosciamo.

Una cosa molto interessare da considerare è la successione

$a_n-b_n=\frac{a-b}{2^{n-1}}$ che tende a 0. Poi insieme al teorema di convergenza dei limiti.

$a_n$ si può dire che è una approssimazione dal basso mentre $b_n$ è una approssimazione dall'alto

Poi utilizzando il lemma 1 e il lemma 2 si può concludere che, dato c questo limite che $f(a_n)=f(c)\le 0$ e che $f(b_n)=f(c)\ge 0$ e quindi abbiamo dimostrato che esiste $f(c)=0$

Costruttiva → Ho un metodo di approssimazione

Teorema degli Zeri e polinomi

Nei polinomi di grado dispari si può notare che il limite del polinomio che tende a +infinito va a +infinito, uguale il contrario, grazie al thzero si può concludere che deve avere necessariamente uno zero (si può dimostrare anche la continuità di questo! È algebra dei limiti)

Ogni polinomio di gradi dispari ha almeno una radice Reale.

Weierstrass e Valore intermedio

Weierstrass (Estremi finiti)

Studia il concetto di punto di massimo o minimo assoluto. In particolare dice che esistono quei due punti per funzioni:

1. Dominio limitato e chiuso
2. Funzione continua

Sia data una $f:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}$ tale per cui sia continua. Allora esistono massimo e minimo globale per la funzione. Ossia:

$$\exists x_0\in \left[a,b\right]:f(x)\le f(x_0),\forall x\in \left[a,b\right]$$

E stessa cosa per il minimo.

La dimostrazione non è data. Ma è una proprietà che molti direbbero che sia intuitivamente vera. Andare a dimostrarla si entrerebbero in tecnicismi inutili secondo me. Nel caso puoi sempre approfondirla nella pagina wikipedia associata.

Weierstrass riformulato

Quello che dice in più è che l'immagine della funzione coincide con il massimo e minimo assoluto.

Si dovrebbe dimostrare con Weiestrass di prima e thzeri.

$\forall y\in codominio,\text{considero }g(x)=f(x)-y$ e poi utilizzo il teorema degli zeri per dire che esiste un x per cui $g(x)=0⟺f(x)=y$ e quindi ho trovato un x per cui vale.

Teorema del valore intermedio

Questo è anche chiamato intermediate value theorem. Lo abbiamo utilizzato per dimostrare qualcosa di molto breve su

La dimostrazione è equivalente a Weierstrass riformulato.

Integral and Derivative

Dominated Convergence Theorem

See here. This allows under some conditions to swap gradients and integrals, which is quite handy. For example in RL Function Approximation we use it for the score trick.

Convergence Types

Definitions

Uniform Convergence

The convergence is uniform if for every $ϵ>0$ there exists a $N$ such that for every $n>N$ and for every $x\in A$ we have that $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$. Where $f_n$ is the sequence of functions and $f$ is the limit function.

We can write the same thing with $\sup$:

$$\forall ϵ>0,\exists N:n>N⟹\underset{x\in A}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<ϵ$$

Where $A$ is the domain of the functions.

Pointwise Convergence

The convergence is pointwise if for every $x\in A$ and for every $ϵ>0$ there exists a $N$ such that for every $n>N$ we have that $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$.

Notes on the differences

The difference is that in uniform convergence the $N$ is the same for every $x\in A$, while in pointwise convergence the $N$ can change for every $x$. The main implication of this difference is that uniform convergence implies pointwise convergence, but the opposite is not true.

One student could wrongfully assume that if we take the maximum of $N$ for every $x$ we can have uniform convergence. Then we can have a same $N$ for every $x$ which implies uniform convergence. But we can have a counterexample where the $N$ is not bounded!

Pointwise convergence implies $\mathrm{liminf}{f}_n=\lim f_n$

This is some random result useful for some proofs about Banach Spaces. Intuitively, if a sequence gets close to the point (pointwise convergence) then also the inferior and upper limits are the same.

Let's go step by step and rigorously show that if $f_n(x)\to f(x)$ pointwise, then

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x).$$

For a sequence $(f_n)$, we define:

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n=\underset{m\ge 1}{\sup }\underset{n\ge m}{\inf }{f}_n.$$ $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n=\underset{m\ge 1}{\inf }\underset{n\ge m}{\sup }{f}_n.$$

• The liminf represents the largest value that the sequence eventually stays above infinitely often.

• The limsup represents the smallest value that the sequence eventually stays below infinitely often.

• The sequence $(f_n)$ converges to $f$ if and only if

  $$\mathrm{liminf}{f}_n=\mathrm{limsup}{f}_n=f.$$

Thus, our goal is to show that if $f_n(x)\to f(x)$, then

$$\mathrm{liminf}{f}_n=f=\mathrm{limsup}{f}_n.$$

By definition,

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n=\underset{m\ge 1}{\sup }\underset{n\ge m}{\inf }{f}_n.$$

Since $f_n\to f$, we know that for every $\epsilon >0$, there exists an integer $N$ such that for all $n\ge N$,

$$f_n\ge f-\epsilon .$$

Taking the infimum over all $n\ge m$ for $m\ge N$, we get

$$\underset{n\ge m}{\inf }{f}_n\ge f-\epsilon .$$

Now, taking the supremum over all $m\ge 1$, we obtain

$$\underset{m\ge 1}{\sup }\underset{n\ge m}{\inf }{f}_n\ge f-\epsilon .$$

Since this holds for every $\epsilon >0$, we conclude that

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n\ge f.$$ $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n=\underset{m\ge 1}{\inf }\underset{n\ge m}{\sup }{f}_n.$$

Since $f_n\to f$, for every $\epsilon >0$, there exists an integer $N$ such that for all $n\ge N$,

$$f_n\le f+\epsilon .$$

Taking the supremum over all $n\ge m$ for $m\ge N$, we get

$$\underset{n\ge m}{\sup }{f}_n\le f+\epsilon .$$

Now, taking the infimum over all $m\ge 1$, we obtain

$$\underset{m\ge 1}{\inf }\underset{n\ge m}{\sup }{f}_n\le f+\epsilon .$$

Since this holds for every $\epsilon >0$, we conclude that

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n\le f.$$

we now have

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n\ge f,\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n\le f.$$

Since $\mathrm{liminf}{f}_n\le \mathrm{limsup}{f}_n$ always holds, this forces:

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n=f=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n.$$

Thus, the limit exists and is equal to $f$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f.$$

We have rigorously proven that if $f_n(x)\to f(x)$ pointwise, then

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x).$$

Let me know if you need any further clarification! 😊

Classical Results

Uniform convergence implies classical convergence

If a sequence of functions converges uniformly, then it converges pointwise.

Proof: By definition of uniform converge we have that $f_n$ converges uniformly to $f$. Then for every $ϵ>0$ there exists a $N$ such that for every $n>N$ and for every $x\in A$ we have that $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$. In particular, since the inequality holds for the supremum over all $x\in A$, it holds for each individual $x\in A$. This implies that for every $x\in A$ and for every $ϵ>0$ there exists a $N$ (which is the $N$ of uniform convergence) such that for every $n>N$ we have that $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$. This is the definition of pointwise convergence. $\square$.

Counterexample of the opposite

Here we prove that pointwise convergence does not imply uniform convergence.

Let's consider the function $f_n(x)=x^n$. One can prove that this function converges pointwise to

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x\in [0,1)\\ 1& \text{if }x=1\end{array}$$

But there is no $N$ such that for every point $x\in [0,1]$ we have that $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$ for every $n>N$! Let's fix that $N$ and a $\epsilon$, we show that we can find a $\delta >0$ such that it doesn't hold for $x=(1-\delta )$. Then we have that $|f_n(1-\delta )-f(1-\delta )|=|(1-\delta {)}^n-0|=(1-\delta {)}^n>\epsilon ⟹\delta <1-\sqrt[n]{\epsilon }$, which is a contradiction.