Successioni

3.1 Successioni

$$\{\begin{array}{l}f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\\ n\to f(n)\\ \{a{\}}_{n\in \mathbb{N}}\vee a_n\end{array}$$

È una funzione che mappa dai naturali ai Reali indicata spesso solamente come

$${\left\{a\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$$

3.1.1 Immagine e successione

L'immagine di una successione (l'insieme dei suoi elementi) non è una successione! la successione è anche ordinata.

3.1.2 Limitazioni della successione

Come per gli insiemi si può definire se l'insieme è limitato superiormente, inferiormente o entrambi, a seconda di come lo definiamo in questo modo possiamo poi farci altri ragionamenti

Per decidere se esiste questo limite, continui a fare gli stessi ragionamento sul maggiorante e minorante come per gli insiemi.

Se uniamo l'essere superiormente o inferiormente limitato con la monotonia allora possiamo unire questa con il concetto di convergenza a un limite finito.

3.1.3 Monotonia delle successioni

Le successioni possono essere crescenti, descrescenti.

La definizione di queste successioni è lasciata al lettore.

3.2 Limiti di successioni

3.2.1 Intuizione

Mi posso arrivare a un certo valore di quanto mi pare, del singolo valore che mi pare so che esiste sempre un valore che mi posso avvicinare.

3.2.2 Limite Convergente

Si definisce un limite per x che tende all'infinito di una successione $a_n$ in questo modo:

$$L=\underset{x\to \infty }{\lim }{a}_n:=\forall ϵ\in {\mathbb{R}}^{+},\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n\in \mathbb{N}:n\ge n_0⟹|a_n-L|<ϵ$$

3.2.3 Limiti divergenti

Ossia per qualunque k, posso andare a cercare un $n_0$ da qui in poi la successione è sempre maggiore, posso scegliere come mi pare

$$\infty =\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}_n:=\forall k\in {\mathbb{R}}^{+},\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n\in \mathbb{N}:n\ge n_0⟹a_n\ge k$$ $$-\infty =\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}_n:=\forall k\in {\mathbb{R}}^{+},\exists n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n\in \mathbb{N}:n\ge n_0⟹a_n\le k$$

• Nota di italiano

  SI può dire solamente se una successione tende ma non puoi mai dire che il limite tende a qualcosa, perché il limite è definito come un certo valore.

3.2.4 Limiti finiti

Questa definizione di limite di rifà al concetto di intorno, ed è un limite valutato su un unico punto

3.2.5 Limiti su successioni monotone !!!

Sia data una successione crescente $a_n$, allora ${\lim }_{x\to \infty }=\sup \{a_n|n\in \mathbb{N}\}$

Simile per successioni decrescenti

Dimostrazione

Dimostriamo ora per il caso decrescente.

Allora il limite $L$ è o finito, o è $-\infty$.

Caso 1 $L=-\infty$:

La successione non ha un limite inferiore, quindi non esistono dei minoranti per questo insieme, allora $\forall k>0⟹\exists n_0:a_{n_0}<k$ allora essendo la successione decrescente abbiamo che $\forall n:n\in \mathbb{N},n<n_o⟹a_n<a_{n_0}$ quindi $a_n<k$ per ogni n minore di $n_0$ ciò è sufficiente per dimostrare la tesi dell'esistenza del limite divergente

Caso 2 $L$ finito:

dobbiamo dimostrare che $-ϵ\le |a_n-L|\le ϵ⟺L-ϵ\le a_n\le L+ϵ$ ma sappiamo in quanto $L$ è un minorante che vale $L-ϵ\le a_n$, consideriamo ora, $L+ϵ$, non essendo un minorante, deve esistere un $a_{n_0}<L+ϵ$ allora essendo la successione decrescente abbiamo che $\forall n:n\in \mathbb{N},n<n_o⟹a_n<a_{n_0}$ , quindi esiste un $n_0$ tale per per ogni $n$ minore di quello vale la sufficienza per il limite.

3.3 Algebra dei limiti

• Ipotesi e tesi di ciò

  

3.3.1 Somma limiti finiti

Siano $a_n,b_n$ successioni con limite finito $l_1,l_2$, allora il limite di $a_n+b_n$ è $l_1+l_2$.

$-{ϵ}_a\le a_n-l_1\le {ϵ}_a$

allora $-{ϵ}_b\le b_n-l_1\le {ϵ}_b$

allora $-{ϵ}_a-{ϵ}_b\le a_n-l_1+b_n-l_1\le {ϵ}_a+{ϵ}_b$ e ciò finisce la dimostrazione.

3.3.2 Somma limiti

Se usiamo un limite tale che una dei due è infinito e hanno lo stesso segno allora abbiamo quello che abbiamo.... Guarda le slides!

3.3.3 Prodotto dei limiti finiti

3.3.4 Prodotto di limiti infiniti

3.3.5 Forme indeterminate somma e prodotto e divisione

Somma di $+\infty -\infty$ oppure il contrario.

$0\cdot \pm \infty$

Qualunque divisione fra infiniti .

3.4 Numero di Nepero

3.4.1 Necessità per dimostrazioni

Per dimostrare l'esistenza del numero di Nepero come

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$$

Devo dimostrare in particolare due cose:

1. Crescenza della funzione
2. Limitatezza della funzione (ricorda che per questa proprietà ho che una successione crescente o è limitata e ha limite finito o è divergente)

3.4.2 La disuguaglianza di Bernoulli

• La tesi e ipotesi della disuguaglianza di Bernoulli

  

Dimostrazione:

Si ha una dimostrazione per induzione

PB:

$n=0⟹1\ge 1$ Verificato

Supponiamo che valga per n, dobbiamo dimostrare che

$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+x+nx$

$(1+x{)}^{n+1}\ge (1+x)(1+nx)=1+nx+x+n{x}^2$ ovvio che sia maggiore della parte di destra, per cui è dimostrato.

3.4.3 Crescenza della successione

La successione è strettamente crescente, con 2 pagine e mezzo di calcoli.

Prima dimostri che la divisione fra due numeri successivi della sequenza sia $>1$, poi fai i calcoli, in modo strano, facendo delle mosse anche intelligenti per quanto riguarda togliere e aggiungere degli uno e finisci a dire che vale.

3.4.4 Limitatezza della successione

Questa dimostrazione si dimostra espandendo la definizione con il binomio di Newton, in seguito si devono avere queste seguenti osservazioni interessanti:

1. Semplificare $\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}$ dicendo che è minore di 1, in quanto tutti i $k$ fattori al numeratore sono minori del denominatore.
2. Semplificare il restante $\frac{1}{k!}$ con le somme telescopiche (usando la disuguaglianza 1/k! ≤ della somma telescopica) e dimostrare che è finito.

Si dimostra quindi che l'upper bound è 3.