Analisi macroscopica
Setting dell’esperimento 🟩
Provare a guardare 269 del Mazzoldi. (227 per la defivazione della forza.) Si può dimostrare che
$$ \vec{F} = -\vec{\nabla} \cdot U \implies F = -\vec{\nabla}(\vec{m} \cdot \vec{B}) = \pm m \frac{dB}{dx} $$La prima relazione si deriva da definizione di lavoro e forza. (esteso al caso di una forza applicata su spira che non è banale, facciamola brevemente).
Sappiamo che $U = - m \cdot B$, quindi è vero che $dW = -dU = i d \Phi (B)$ e poi utilizzando una proprietà del gradiente in Divergenza e Circuitazione abbiamo
$$ Fds = dW = -dU = i \nabla \Phi(B) ds \implies F = i\nabla \Phi(B) = m \cdot \nabla B = -\nabla U $$La cosa da notare è che per campi uniformi abbiamo che si può definire il lavoro.
Comunque questo esperimento è stato importante per dire che se metto un materiale nella bobina, a volte viene attratta, altre volte respinta, quindi faceva pensare che esiste qualcosa nel materiale che induceva queste cose.
Magnetizzazione 🟩
Considerando la forza per unità di volume si può introdurre la densità del momento magnetico, anche chiamata magnetizzazione.
$$ M = \frac{m}{\tau} $$Campo magnetico in materiali
Possiamo misurare il campo magnetico tramite una sonda di Hall, e otteniamo se il solenoide è immerso in un campo magnetico abbiamo:
$$ \frac{B}{B_{0}} = k_{m} $$Simile a quanto abbiamo fatto in Condensatori con dielettrici.
Permeabilità magnetica relativa 🟩
$$ \mu = \mu_{0} k_{m} $$In modo simile a quanto fatto per la costante dielettrica.
Interpretazione correnti Amperiane 🟩
Quindi vengono create delle sorte di correnti sul nostro materiale quando questa viene sommersa in un certo campo magnetico, che hanno modulo
$$ \vec{B}_{m} = \mu_{0}\chi_{m}ni $$Vedere pagina 272 del Mazzoldi. Ed effettivamente ci sono delle correnti così indotte su questo materiale. Si potranno studiare da un punto di vista microscopico dopo.
Suscettività magnetica 🟩
Ci dice quanto è cambiato il campo magnetico passando di mezzo, e quindi abbiamo:
$$ \chi_{m } = k_{m } - 1 $$Classificazione di sostanze magnetiche
Diamagnetiche 🟩
Se $k_{m} < 1$ Ossia le correnti amperiane hanno verso opposto.
paramagnetiche 🟩
Se $k_{m} > 1$. In cui si ha anche una dipendenza con la temperatura. A temperatura normale questo sono piccolissime
Ferromagnetiche 🟩
Quando la differenza è tipo $10^{3}$, ed è una relazione non lineare.
Considerazioni microscopiche
Analisi del momento angolare
Questa analisi è verso pagine 234 del Mencuccini, da fare un po’ meglio.
Proviamo a considerare il modello di Rutherford (credo), in cui abbiamo un atomo centrale e poi roba (elettroni) che ci girano attorno.
Considerando un singolo elettrone abbiamo, che il momento angolare (credo si chiami così, da controllare) è
$$ \vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}_{e} \implies L = rm v_{e} $$Dove $v_{e}$ è la velocità dell’elettrone e anche $m$ è la massa dell’elettrone. Inoltre sappiamo, per definizione che $m = i\pi r^{2} = -\frac{evr}{2}$ Dove abbiamo preso $i = -\frac{e}{T} = -\frac{ev}{2\pi r}$ Combinando le equazioni del momento magnetico e della corrente elettrica si ha
$$ \vec{m}= -\frac{er}{2} \left( \frac{\vec{L}}{rm} \right) = -\frac{e}{2m} \vec{L} $$Dove si ha una chiara relazione fra momento magnetico (quella cosa necessaria per magnetizzazione) direttamente nel nucleo di un atomo.
Magnetone di Bohr
Seguendo il modello di Sommerfield-Bohr in cui il momento angolare viene quantizzato, esiste anche un momento magnetico intrinseco dovuto allo spin dell’elettrone, che segue praticamente la stessa legge di sopra:
$$ \mu_{e} = \frac{e}{2m} \hbar $$dove lo spin è uguale a $\lvert S \rvert = \frac{1}{2}\hbar$ Questa costante trovata di sopra è detta magnetone di Bohr che è da notare opposta al momento magnetico precedente. Infatti nella maggior parte dei materiali questo si cancella, mentre in alcuni materiali non succede, e abbiamo il paramagnetismo.
Modello diamagnetismo
In questo modello si assume che non ci sia momento magnetico intrinseco degli atomi, si può dimostrare che abbiamo un moto di precessione:
Abbiamo
$$ \vec{M} = \vec{m} \times \vec{B} = -\frac{e}{2m} \vec{L} \times \vec{B} $$E che
$$ M = \frac{dL}{dt} = \vec{\omega_{L}} \times \vec{L} \implies \vec{\omega_{L}} = \frac{e}{2m}\vec{B} $$Dove il secondo è una velocità angolare indotta dal campo magnetico che implica un moto di precessione. Questa è la precessione di Larmor.
Questa precessione di Larmor induce una corrente uguale a:
$$ \Delta i = -\frac{e}{T_{L}} = -\frac{e}{2\pi}\omega_{L} = -\frac{e^{2}}{4\pi m}B $$Che induce un momento magnetico
$$ \Delta m = i\pi r^{2} = -\frac{e^{2}r^{2}}{4m}B $$Ora conviene analizzare questo dato da un punto di vista mean field theory e assumere un raggio medio perché non conosciamo il valore di $r$ nell’orbita di precessione nemmeno il verso rispetto al campo magnetico esterno. Quindi prendiamo una media, assumiamo una simmetria sferica $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ che che i tre assi siano equamente equiprobabili, quindi $x^{2} = y^{2} = z^{2} = \frac{r^{2}}{3}$
Con questo abbiamo che il raggio medio sulla stessa orbita dell’elettrone (piano xy) diventa ora $r_{i}^{2} = x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3} r^{2}$ Se messo dentro lì sopra abbiamo ora
$$ \Delta m = -e^{2} \frac{r^{2}}{6m} B $$E nel caso ci siano più elettroni prendiamo un raggio medio, e si avrà lo stesso valore.
Approccio in classe non compreso (non fare)
Possiamo da questo ricavare la velocità angolare di cui troviamo il valore sia
$$ \omega_{0} = \frac{v}{r} = \frac{L}{r^{2}m_{e}} $$Poi notiamo che $\vec{m} \parallel \vec{L}$ perché entrambi perpendicolari alla nostra spira-elettrone. abbiamo poi che
$$ i = -\frac{e}{T}, \vec{m}_{0} = -\frac{e}{T} \pi r^{2} \hat{u}_{n}, v = \omega r, L = r m_{e} \omega r = m_{e} \omega r^{2} $$Poi abbiamo anche che:
$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{L} r^{2}m_{e} $$Utilizzando quanto avevamo ricavato prima sulla velocità angolare dell’elettrone.
Questo si può mettere dentro al momento magnetico
$$ \vec{m}_{0} = i \Sigma = -\frac{e \vec{L}}{2m_{e}} $$Nel momento in cui una sostanza è in un campo magnetico, sarà generata una corrente che si oppone, e si avrà una forza repulsiva, questo c’è sempre in tutto.
Ogni atomo crea un momento magnetico all’interno del suo atomo.
Altre cose, abbiamo che
$$ \vec{M} = i\vec{S} \times \vec{B} = \vec{\omega_{L}} \times \vec{L} $$Noi dovremmo essere in grado di sapere quanto sia la corrente e la superficie e in questo modo dovrei riuscire a ricavare omega.
Le sostanze diamagnetiche vengono solo respinte. (??)
$$ \vec{m}_{L} = -\frac{e^{2}}{6m_{e}} \left( \sum_{i=1}^{z} r_{i}^{2} \vec{B} \right) $$Facciamo una altra analisi, fra la frequenza di Larbor e quella originale, Larbor è. Poi sapendo che $T_{0} = 1.5 \cdot 10^{-16}s$ e abbiamo che la massa è $9.1 \cdot 10^{-31} kg$.
$$ \omega_{L} = \frac{eB}{2m_{e}} $$E vorremmo chiederci se la frequenza di Larbor sia maggiore o minore rispetto a quella iniziale. E si scopre in qualche modo che se $B \ll 5 \times 10^{5} T$ si avrà che il periodo di Larbor è molto piccolo rispetto a quello iniziale. E nella realtà max 100 tesla, e non si riesce a raggiungere.
Tutta la parte sopra dovrebbe essere fatta prima pagina 274 del mazzoldi.
Larmor 🟨–
Quando proviamo a definire il momento angolare, tramite una velocità angolare e inerzia, introduciamo la velocità angolare di Larbor
$$ \vec{M} = \vec{\omega}_{L} \times \vec{L} $$Questo si può mettere in relazione con
$$ \vec{M} = \vec{m}_{0} \times \vec{B} = \vec{\omega}_{L} \times \vec{L} $$E troviamo il risultato
$$ \omega_{L} = \frac{eB}{2m_{e}} $$Con questo possiamo andare a definire un momento di Larmor.
Ossia:
$$ m_{L} = i_{L}S_{L} = -\frac{e}{T_{L}} S_{L} $$E abbiamo che
$$ T_{L} = \frac{2\pi}{\omega_{L}} \implies \frac{4\pi m_{e}}{eB} $$E questo si può sostituire si sopra e otteniamo che il momento di Larbor è:
Precessione di Larmor 🟨–
Abbiamo detto che abbiamo un fattore di momento angolare che è dipendente dal campo magnetico, per questo motivo possiamo spiegare l’effetto del campo magnetico nel creare correnti (in questo caso l’elettrone che si muove).
Momento magnetico per unità di volume 🟩–
momento magnetico per unità di volume è uguale al momento magnetico del nostro atomo per il numero di atomi per unità di volume, e abbiamo un valore di magnetizzazione che è in pratica una corrente amperiana. In formule:
$$ \vec{M} = \frac{\Delta \vec{m}}{\Delta \tau}, \Delta \vec{m} =Con N il numero di atomi per unità di volume e $\vec{m}$ il momento magnetico per unità di volume.
$\vec{M}$ descritto sopra è il momento magnetico per unità di volume, chiamato anche MAGNETIZZAZIONE.
Consideriamo ora un cilindro con un certo momento magnetico. Per un certo principio di equivalenza di Ampere, possiamo dire che il momento magnetico… (vedere pagina 275 Mazzoldi).
$$ dm = di_{m}dS\hat{u} = M dSdz\hat{u} \implies di_{m} = Mdz $$
Ma tutte le correnti interne si elideranno, e questo sarà equivalente a un circuito esterno (una spira per dire), questo motiva anche l'utilizzo del solenoide, perché sembra simile a questo setting. Vedere [Geometrie di spire](/notes/geometrie-di-spire).
allora:
$$ i_{m} = \int \, di_{m} = \int M \, dz = Mh $$Possiamo definire il concetto di densità lineare di corrente amperiana come $j$
$$ j_{m} = \frac{i}{h} = \lvert M \rvert = \vec{M} \times \hat{u} $$Caso Magnetizzazione non uniforme 🟨–
Questo rende la cosa un po’ più compelssa perché le correnti amperiane non si cancellano. Consideriamo il setting in figura:
abbiamo che
$$ di_{1} - di_{2} = (M_{z} - M'_{z})dz = -\frac{\delta M_{z}}{dx} dxdz $$Così abbiamo la corrente che scorre lungo $y$ nel disegno di sopra, ma ho un contributo lungo $y$ anche dal cubo di una altra direzione! Si può ripetere la stessa cosa, su una direzione diversa.
$$ di_{3} - di_{4} = (M'_{x} - M_{x})dx = \frac{\delta M_{x}}{\delta z}dzdx $$E possiamo considerare ora il valore totale:
$$ di = di_{1} - di_{2} + di_{3} - di_{4} = \left( \frac{\delta M_{x}}{\delta z} - \frac{\delta M_{z}}{\delta x} \right) dxdz $$E si può estendere questo concetto il rotore facendo praticamente la stessa cosa anche per altri e abbiamo:
$$ j = \vec{\nabla} \times \vec{M} $$dove $j$ è la densità lineare di corrente.
In forma integrale abbiamo:
$$ \oint_{\Gamma} \vec{M} d\vec{l} = i_{m} $$Equazioni del campo magnetico revisited 🟩-
abbiamo che
$$ \oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} (i_{c} + i_{m}) = \mu_{0}i_{c} + \mu_{0} \oint_{\Gamma} \vec{M} \cdot d\vec{l} $$Dove aggiungiamo anche la corrente di ampere oltre la corrente concatenata.
Portando dall’altra parte abbiamo:
$$ \oint_{\Gamma} (\vec{B} - \mu_{0} \vec{M}) \cdot d\vec{l} = \mu_{0}i_{c} $$E dividendo per $\mu_{0}$ si ha
$$ \oint_{\Gamma} \left( \frac{\vec{B}}{\mu_{0}} -\vec{M} \right) \cdot d\vec{l} = i_{c} $$In cui abbiamo una altra sorgente del campo magnetico che è dipendente dal materiale presente al campo magnetico.
Forma divergente 🟩
$$ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0}(\vec{J} + \vec{J}{M}) = \mu{0}(\vec{J}_{c} + \vec{\nabla} \times \vec{M})
\vec{\nabla} \times (\vec{B} - \mu_{0} \vec{M}) = \mu_{0} \vec{J}_{c} $$
Campo di magnetizzante 🟩-
In modo simile al campo di induzione elettrica o vettore di spostamento, è sensato definire una nuova dimensione
$$ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_{0}} - \vec{M} $$In modo simile a quanto fatto in Condensatori con dielettrici in cui definiamo il vettore di spostamento, la cosa carina è che:
$$ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_{c} $$E
$$ \oint_{\Gamma} \vec{H} d\vec{l} = i_{c} $$Dimensione Ampere su Metro, la stessa del vettore di magnetizzazione.
Relazioni M, H, B 🟩–
VALGONO SOLO PER MATERIALI NON FERROMAGNETICI!
E abbiamo anche la relazione:
$$ \vec{M} = \chi_{m} \vec{H} $$Poi abbiamo anche
$$ \vec{B} = \mu_{0} (\vec{H} + \vec{M}) = \mu_{0}(1 + \chi_{m}) \vec{H} = \mu \vec{H} $$Si ha anche la stessa relazione fra M e B rispetto a quello vecchio!
$$ \vec{M} = \frac{k - 1}{k} \vec{B} $$Discontinuità nelle superfici magnetizzate 🟨++
Consideriamo il campo magnetico in due mezzi, queste saranno sottoposte a correnti amperiane diverse. Applichiamo il classico cilindro sulla superficie di separazione. Avremo allora che
$$ 0 = \oint_{\Sigma}\vec{B} \cdot \hat{u}_{N} dS = B_{1}\cdot \cos \theta_{1} dS - B_{2} \cdot \cos \theta_{2} dS \implies B_{1} \cos \theta_{1} = B_{2}\cos \theta_{2} $$Ossia abbiamo che c’è una continuità della componente normale. Questo possiamo dire che
$$ k_{1} H_{1 \perp} = k_{2} H_{2\perp} $$E possiamo dire che la componente $H$ è discontinua.
Cambiamo setting, consideriamo un rettangolino di altezza infinitesima (anche questa stessa idea). Allora abbiamo che
$$ i_{c} = 0 = \oint_{\Gamma} H\cdot dS = H_{1}h - H_{2}h \implies H_{1} = H_{2} $$Quindi non abbiamo discontinuita per la componente tangente. Abbiamo quindi:
$$ H_{1} \sin \theta_{1} = H_{2} \sin \theta_{2} $$Abbiamo quindi che c’è una discontinuità per il campo magnetico e il suo valore è:
$$ \frac{B_{1 \parallel}}{k_{1}} = \frac{B_{2\parallel}}{k_{2}} $$calcoliamo il modulo di $B_{2}$ in funzione di $B_{1}$ che mi serve per calcolare il rapporto:
$$ B_{2}^{2} = B_{1}^{2} \cos ^{2} \theta_{1} + B_{1}^{2} \frac{\cos ^{2}\theta_{1}}{\cos ^{2} \theta_{2}} $$Scriviamo in modo chiaro le componenti normali e non per $H$ Allora abbiamo che
$$ H_{1t} = H_{2t} $$E
$$ k_{1}H_{1n} = k_{2}H_{2n} $$E allora abbiamo:
$$ \frac{\tan \theta_{2}}{\mu_{2}} = \frac{H_{2t}}{\mu_{2}H_{2n}} = \frac{H_{1t}}{\mu_{1}H_{1n}} = \frac{\tan \theta_{1}}{\mu_{1}} $$Quindi abbiamo che
$$ \frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}} = \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} $$Schermi magnetici 🟩
Pensiamo di avere un materiale ferromagnetico, e facciamo finta che abbiamo campo magnetico entrante. Per questa relazione abbiamo che probabilmente per ogni angolo, questo sarà deflesso in modo praticamente parallelo alla superficie. E se c’è un buco, allora non ci passa praticamente campo magnetico, e possiamo costruire schermi magnetici in questo modo. Quindi se il materiale del conduttore è fatto di roba ferromagnetica, questa scherma sia campo magnetico che elettrico.
Materiale ferromagnetico
Certi materiali si magnetizzano velocemente quando si mettono vicino a campi magnetici forti
Consideriamo un toroide, uguale a quello descritto in Geometrie di spire, abbiamo che quando mettiamo un materiale, $H$ non cambia, perché dipende solo da correnti concatenate.
Magnetizzazione in funzione di H 🟩
Lo **stato vergine** è lo stato iniziale del materiale.
POi si ha la **curva di prima magnetizzazione** che è la curva $a$ in figura.
Per **magnetizzazione residua** si indica il valore di $M_{sat}$ quando $H = 0$ dopo aver salito la prima curva $a$.
Abbiamo questo grafico (che poi si spiega con teorie quantistiche), che se aumento la corrente oltre un certo punto la magnetizzazione non aumenta. Questo si chiama magnetizzazione di saturazione. La cosa particolare è che dopo che sono state magnetizzate, questi sono magneti permanenti. Si parla di campo coercitivo quando abbiamo un campo che fa diventare 0 la magnetizzazione.
Ciclo di isteresi di smagnetizzazione:
In pratica devo fargli fare tanti giri (senza portarlo a saturazione!)
Ciclo di isteresi 🟩
È il grafico che abbiamo visto di sopra, in cui il materiale va su e giù. e si potrebbero anche definire concetti come permeabilità differenziale che mi rappresenta come cambia in fretta se seconda dell’induzione magnetica
$$ \mu_{d} = \frac{dB}{dH} $$È un diagramma di stato questo ciclo, in un certo senso come quelli descritti da Unified Modeling Language.
Una altra osservazione è che posso avere tutti i punti all’interno del ciclo, ed è per questo che posso smagnetizzare un magnete. Il metodo è accende e spegnere in un certo modo $H$.
Materiali duri e dolci 🟩
Dolci sono usati solamente negli elettromagneti, perché sono facili da magnetizzare. Quelli duri sono difficili da magnetizzare, e hanno solitamente un ciclo di isteresi molto lungo.
Seconda legge di curie (non importante) 🟨++
Questa è la relazione per materiali dolci, e lega la temperatura con la suscettibilità magnetica ()
$$ \chi_{m} (T - T_{c}))/\rho = C $$dove $\rho$ è la densità della sostanza.
Domini di Weiss 🟨–
Trattato pagina 316 del Mazzoldi:
Possiamo caratterizzare alcuni domini magnetici ($~10^{5}$ atomi per il prof, per il libro circa $10^{11}$ atomi, sono regioni di circa 0.001 picometri., che ha senso perché i ferromagnetici sono questo fattore più grandi rispetto agli altri., e poi vanno ad influenzare ed ingrandire, capire da Heisemberg (ma per il prof. difficili).
Una cosa strana è che $H$ dentro a un solenoide è verso giù all’interno, perché abbiamo che … boh non ho capito però la cosa strana era che era direzione opposta.
Solenoide infinitamente lungo: non abbiamo vettore H perché la circuitazione è sempre 0.
