introduzione ai dielettrici

Esperimenti metalli e dielettrici 🟩

$$ V_{s} = (h - s) E_{0} $$

Questo è vero perché semplicemente in mezzo al conduttore il campo elettrico è nullo, come spiegato in Conduttori elettrici, quindi durante l’integrale, il percorso è semplicemente minore, esattamente di quella quantità.

$$ k = \frac{V_{0}}{V_{k}} < 1 $$

Costante dielettrica relativa 🟩

$$ E_{k} = \frac{V_{k}}{h} = \frac{V_{0}}{kh} = \frac{E_{0}}{k} = \frac{\sigma_{0}}{k\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{k}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{0}}{\varepsilon} $$$$ E_{k} = \frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} - \frac{\sigma_{p}}{\varepsilon_{0}} $$$$ \sigma_{p} = \frac{k - 1}{k} \sigma_{0} $$$$ \sigma_{k} = \sigma_{0} - \sigma_{p} = \frac{\sigma_{0}}{k} $$

Qui si può giocare un po’ senza nessun problema!

L’equazione del nuovo campo elettrico è utile per avere una intuizione, è come se esistesse un campo contrario creato dal dielettrico, che ne affievolisce l’intensità, questo sarà spiegato meglio dopo, esisteranno seriamente queste cariche!

Costante dielettrica assoluta del dielettrico 🟩

$$ C_{p} = \frac{q}{V_{p}} = \frac{qk}{V_{0}} = k C_{0} $$$$ \text{costante dielettrica assoluta del dielettrico: }\varepsilon = k\varepsilon_{0} $$$$ C_{p} = kC_{0} = k \varepsilon_{0} \frac{S}{d} = \frac{\varepsilon S}{d} $$

E notiamo che cambia solamente il valore di dielettrico, è ancora molto clean la relazione.

Secondo me non ha senso questa parte e possiamo soltanto dire che la capacità cresce col dielettrico

Polarizzazione del dielettrico

Polarizzazione per deformazione/elettronica 🟨+

Questa polarizzazione si spiega a un **livello atomico** perché intuitivamente si può dire che il punto medio delle cariche elettriche positive (nucleo) e negative (nube di elettroni) quando viene sottoposto a un campo elettrico si spostano, per cercare di bilanciare la piccola forza applicata dal campo elettrico, quindi è un valore direttamente proporzionale al valore del campo elettrico, In questo caso: $$ \vec{p}_{e} = Ze\vec{x} $$ Con x il vettore della congiungente, $Z$ numero atomico $e$ la carica basilare dell'elettrone. Da quanto studiato in [Dipolo elettrico](/notes/dipolo-elettrico), quando ho un momento, c'è un campo indotto.

Insieme a questo, i mini dipoli si orientano sul verso del campo elettrico.

Polarizzazione per orientamento (non fatta)

Questo viene usato per discutere a livello molecolare come avviene la polarizzazione. Se prendo molecole polari, come l’acqua, si avrà che più è sottoposta a campo intenso, più in media i dipoli saranno orientati sul campo, infatti se non lo sono allora ci sarà un momento di dipolo che proverà a riportarli in quello stato, come studiato in Dipolo elettrico nella sezione dei momenti di dipolo.

La differenza col precedente è che questo è solamente un effetto di media!

Suscettibilità elettrica (!)

Definizione di suscettibilità elettrica 🟩

$$ \text{ suscettività dielettrica: } \chi = k - 1 = \frac{V_{k}}{V_{0}} - 1 $$

Andiamo a definire un valore $P$ che spiega quanto dipolo creato dal campo, ed è in pratica momento di dipolo per unità di volume. Solitamente assume questa forma: $$

P = \varepsilon_{0}\chi E $$ Se un dielettrico soddisfa questa relazione (solitamente è omogeneo) si dice che sia dielettrico lineare, solitamente materiali amorfi (senza forma), dotati di isometria spaziale, nei cristalli in genere questo non succede.

Dimostrazione valore 🟨

NOTA: nell'immagine ho sbagliato a disegnare il verso dei singoli atomi allungati. $$ \sigma_{p} = nq\delta $$

Perché in pratica $n = \frac{\Delta N}{\Delta \tau}$ è la densità atomica (numeri di atomi per unità di volume), io con la relazione di sopra sto anche moltiplicando per la lunghezza del tratto considerato, quindi $n\delta$ rappresenta numero di atomi nella superficie (dato che $n$ è il numero di atomi per volume, moltiplicando per una lunghezza ho la densità superficiale), e $q$ gli do la carica, dimensionalmente torna l’idea. Ogni atomo ha $q$ di carica a causa della polarizzazione.

$$ \sigma_{p} = \lvert \vec{P} \rvert $$$$ \sigma_{p} = \vec{P} \cdot \hat{n} $$$$ E = \frac{\sigma_{0} - \sigma_{p}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma_{0} - \lvert \vec{P} \rvert}{\varepsilon_{0}} \implies P = \sigma_{0} - \varepsilon_{0}E = kE\varepsilon_{0} - \varepsilon_{0} E = \varepsilon_{0}E(k - 1) = \varepsilon_{0}E\chi $$

Valore tensoriale 🟩

Solitamente per materiali non isotropi è un tensore, quindi lo abbiamo in una forma del genere $$ \begin{pmatrix} P_{x} \ P_{y} \ P_{z}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \chi_{11} & \chi_{12} & \chi_{13} \ \chi_{21} & \chi_{22} & \chi_{23} \ \chi_{31} & \chi_{32} & \chi_{33} \

\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E_{x} \ E_{y} \ E_{z} \end{pmatrix} $$ Ma per qualche motivo che non conosco $\chi$ è una **matrice simmetrica reale** questo implica che è diagonalizzabile per cui esiste una base di autovalori, che permette di riscrivere la matrice di sopra come $$ \begin{pmatrix} P_{x} \ P_{y} \ P_{z} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \chi_{11}’ & 0 & 0 \ 0 & \chi_{22}’ & 0 \ 0 & 0 & \chi_{33}' \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E_{x} \ E_{y} \ E_{z} \end{pmatrix} $$ Che è anche più veloce da calcolare. La base di autovalori si chiama anche asse ottico

Polarizzazione in materiali non omogenei

Caso dipolo omogeneo 🟩

$$ \Delta Q = \oint_{\Sigma} \vec{P} \cdot d\vec{s} = 0 $$

Si può dire che è uguale a zero perché il flusso esce ed entra, per lo stesso valore.

Caso dipolo non omogeneo 🟩

$$ \Delta Q = \oint_{\Sigma}\vec{P} d\vec{s} = \int _{V(\tau)} \vec{\nabla} \cdot\vec{P} \, d\tau $$$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{P} = - \rho_{i} $$

Ossia la divergenza del momento di dipolo per unità di volume è uguale a meno densità di volume elettrico indotto internamente.

Equazioni di Gauss rivisitate 🟩

Possiamo ora aggiornare le equazioni di gauss andando a contare gli effetti del dipolo in modo esplicito, abbiamo che

Forma divergente	Forma integrale
$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$	$\oint_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{s}$
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$	$\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = -\rho_{p}$	$\oint_{\Sigma} \vec{P} \cdot d\vec{s} = Q_{p}$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_{\text{libero}}$	$\oint_{\Sigma} \vec{D} \cdot d\vec{s} = Q_{L}$

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho_{libero}}{\varepsilon_{0}} + \frac{\rho_{pol}}{\varepsilon_{0}} \implies \varepsilon_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho_{libero} - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \implies \vec{\nabla}(\varepsilon_{0} \vec{E} + \vec{P}) = \rho_{libero} $$

Vettore di spostamento elettrico/induzione dielettrica 🟩

$$ \vec{D} = \varepsilon_{0}\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_{0}(\vec{E} + \chi \vec{E}) = k\vec{E}\varepsilon_{0} = \varepsilon \vec{E} $$$$ \vec{P} = \frac{k-1}{k} \vec{D} $$

Possiamo notare che il vettore di spostamento non è altro che il campo elettrico per un dielettrico differente.

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_{libero} $$$$ \oint_{\Sigma} \vec{D} \cdot d\vec{s} = Q_{L} $$

Ossia questo è un valore che dipende solamente dalla carica LIBERA, per questo vettore di spostamento posso ignorare il valore di polarizzazione indotta.

Discontinuità nei dielettrici

Sappiamo che le componenti tangenti vengono conservate passando da una superficie all’altra (vedi Campo elettrico), e anche le discontinuità per componenti perpendicolari. Ora vogliamo vedere se vale la stessa cosa nei dielettrici, quando abbiamo solamente cariche di polarizzazione, ed entrambi valgono ancora (ma la sigma nel secondo caso è di polarizzazione)

Discontinuità superficiale 🟩–

$$ \oint_{\Sigma}\vec{E} d\vec{s} = \frac{Q_{T}}{\varepsilon_{0}} \implies \Delta E_{\perp} = \frac{\sigma_{p}}{\varepsilon_{0}} $$

Da quanto fatto col vettore di spostamento avrebbe senso vedere cosa succede in quel caso. dato che dipende solamente da cariche libere abbiamo che

$$ \oint_{\Sigma}\vec{D} d\vec{s} = Q_{Libero} = 0 $$

Quindi il vettore di spostamento per il dielettrico è ancora costante, non varia diciamo passando da una superficie all’altra, quindi è continua.

$$ \vec{D}_{1}d\vec{S}_{1} + \vec{D}_{2}d\vec{S}_{2} = 0 \implies \vec{D}_{1}\cos \theta_{1} + \vec{D}_{2} \cos \theta_{2} = 0 \implies D_{1}\cos \theta_{1} - D_{2} \cos \theta_{2} = 0 $$$$ \Delta D_{N} = 0 $$

Legge di Snell revisited 🟩–

Una volte descritte le equazioni di continuità ricavare questo è molto semplice, poi è molto molto simile (opposto) a quanto fatto per Magnetismo nella materia per la continuità dei campi magnetici nel passare su superfici con correnti.

Sappiamo che $E_{\parallel}^{1} = E_{\parallel}^{2}$, che $E_{\perp}^{1} = E_{\perp}^{2}$ e che $D_{\perp}^{1} = D_{\perp}^{2}$ E che $\vec{D} = \varepsilon_{0}k\vec{E}$ Da quello sappiamo che $$ \varepsilon_{0} k_{1} E^{1}_{\perp} = \varepsilon_{0}k_{2}E_{\perp}^{2} $$$$ \begin{cases} E_{1}\sin \theta_{1} = E_{2}\sin \theta_{2} \\ k_{1}E_{1}\cos \theta_{1} = k_{2}E_{2} \cos \theta_{2} \end{cases} \implies \frac{\tan \theta_{1}}{k_{1}} = \frac{\tan \theta_{2}}{k_{2}} \implies \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{\tan \theta_{2}}{\tan \theta_{1}} $$

Quindi so esattamente in che modo il modulo e la direzione di $E$ cambia all’interno della superficie di separazione dei mezzi. Quindi se passo da superficie con $k_{2}$ più alto i raggi tendono verso l’esterno (angolo più grande), e stessa cosa al contrario.

NOTA: il modulo del campo elettrico cambia sempre. NOTA-2: basta guardare le linee di campo per sapere se il materiale è conduttore o meno (perché per il conduttore cambia le linee di campo anche all’esterno).

Energia nei condensatori con dielettrico (!)

Derivazione con dielettrico 🟩–

Sappiamo che l’energia totale è ancora $$ U_{e} = \frac{1}{2} CV^{2} = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon S}{d} V_{k}^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon S E_{k}^{2}d = \frac{1}{2}\varepsilon E_{k}^{2} (Sd) = u_{e} \cdot \text{ Volume} $$ Solo che è da considerare la $E_{k}$ presente con il dielettrico che è uguale a $\frac{E_{0}}{k}$ Possiamo calcolarlo anche in altro modo: $$ U = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} = \frac{1}{2} (\sigma S)^{2} \cdot \frac{d}{\varepsilon S} = \frac{1}{2} \varepsilon\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \cdot Sd

\frac{1}{2}\varepsilon E^{2} \cdot Sd $$ E viene ugualmente come prima

Con vettore di spostamento 🟩

abbiamo, considerando che $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$, vale per dielettrico isotropo, ma per quello anisotropo, in cui non sono più paralleli come si fa?

$$ u_{E} = \frac{1}{2} \varepsilon E^{2}_{k} = \frac{1}{2} \frac{D^{2}}{\varepsilon} $$

A parità di campo elettrico, spendo molta quantità di energia in più per caricarlo.

Materiale anisotropo 🟩–

$$ u_{E} = \frac{1}{2}\varepsilon E^{2} = \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D} $$

Perché devo contare la parte parallela.