Notes

Introduction Da ricordare il “The State Machine Replication (SMR) Problem” in Consensus protocols che è importantissimo per comprendere questa parte. Storia locale Transazioni al singolo noto Problema del sync fra tutti questi nodi. Goal of SMR solution in blockchains Andiamo a considerare alcune proprietà di safety e liveness Programmi Concorrenti Consistenza i nodi devono essere daccordo su quale transazione mettere prima e dopo → stessa storia per tutte le transazioni. (con la possibilità di alcuni nodi che siano indietro, ma solo prefisso!). Liveness che vogliamo dire che tutte le transazioni valide devono essere aggiunte alla fine Assunzioni per sincrono (4) Permissioned, ossia i nodi del nostro modello sono fissi, non possiamo averne di più, non possiamo averne di meno e sono conosciuti. Public key infrastructure, Ogni nodo ha una coppia pubblica e privata. Synchronous, esiste una sorta di stato globale, e tutti i nodi condividono questa informazione. 0, 1, … t. I messaggi sono tutti mandati bene, e arrivano esattamente uno step dopo. (mandato al tempo t, arriva a t + 1). Onestà di tutti i nodi (sarà lasciato subito questa assunzione). 4’. Una percentuale dei nodi è bizantina. ...

Questo argomento è stato trattato durante dopo la discussione dei Massimi minimi multi-variabile, però è stato ripreso anche nella forma R to R, quindi credo necessiti di un foglio a parte. Affine set Lines $$ x = \theta x_{1} + (1 - \theta)x_{2} $$ This is a parametrization of the line Example: Def: affine set A combination where the coefficients add up to 1. We can say that this set is unique given two points. ...

Introduzione ai metodi di discesa. Generali sui metodi di discesa Vogliamo creare algoritmi che riescano a trovare i punti di minimo delle funzioni non vincolate. In generale si trova un punto stazionario (condizioni necessarie) ma non è garantito lo stato ottimo. Solitamente sono divisi in first order methods in cui viene considerata solamente la derivata prima della funzione. E cose di metodi superiori. Condizioni di arresto classiche (2) Slide ...

10.1 Derivata parziale La derivata vuole descrivere quanto varia una funzione al variare dell’input. Ma ora siamo in più dimensioni, quindi vogliamo descrivere il variare dell’input come il variare della distanza euclidea $\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y) = \lim _{h \to 0} \dfrac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$ ovvero sto facendo variare solamente una variabile (la y in questo caso è come se fosse una costante!?) Questo è un rapporto incrementale su una direzione. ...

This set of notes tries to fix what I haven’t learned in 2021 course in algebra. It’s about inner product spaces. A good online reference on the topic is wilkinson. Definitions Inner product space We define the vector space $V$ to be a inner product space, if we define a inner product operator ($\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to R$) such that the following are valid: It is linear on both arguments: $$ \langle \alpha x_{1} + \beta x_{2}, y \rangle = \alpha \langle x_{1}, y \rangle + \beta \langle x_{2}, y \rangle $$ It is a symmetric operator: $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ It is positive definite that is we have $\forall x \in V: \langle x, x \rangle \geq 0$ with equality only if $x = \boldsymbol{0}$ An example of such operator is the classical cosine distance which is just the angle, or euclidean distance. Also all $p-\text{norms}$ are inner products. ...

In questo capitolo cerchiamo di andare oltre alla singola dimensione per l’analisi. Lo spazio $\mathbb{R}^{n}$ Possiamo definire uno spazio Rn come il prodotto cartesiano fra l’insieme R un numero di volte uguale a n $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ... \times\mathbb{R} = \mathbb{R}^n$ Allora un tipico elemento in Rn è nella forma $(x_1,...,x_n)$, questo elemento si chiama punto, mentre gli elelmenti in R che costituiscono questo elemento si chiamano componenti. Osservazione La maggior parte dei risultati che dimostro nello spazio ordinario (R3) si può dimostrare per Rn, non andiamo più nel dettaglio perché i problemi che ho in spazi maggiori sono parte di materiale per analisi 2 ...

È una branca dell’algebra lineare che ci permette di semplificare tutti i concetti. Intro dualità <img src="/images/notes/image/universita/ex-notion/Programmazione lineare/Untitled 8.png" style="width: 100%" class="center" alt="image/universita/ex-notion/Programmazione lineare/Untitled 8"> Si fa una sorta di trasposta alla matrice di A. y è pari al numero di righe di A La trasformazione al duale è molto facile, ed è abbastanza intuitiva una volta che capiamo che vogliamo andare a fare l’upper bound. Dualità asimmetrica Teorema debole di dualità Slide ...

💡 Questa prima parte degli appunti è fortemente mancante 1.1 Insiemistica Tutta Questa prima roba di insiemistica è fatta molto meglio nel corso di logica, in particolare in questo documento Teoria assiomatica degli insiemi 1.1.1 Definizione e caratteristiche degli insiemi Definizione di Campo ordinato (operazioni fra certi insiemi, sia per la addizione, per la moltiplicazione e simili) Corpo commutativo Sono definiti somma e moltiplicazione e proprietà come commutatività, associatività, distributiva, inversi, opposti, zero e nullo ...

2.1 Necessità e caratteristiche di R 2.1.1 Radici di N non perfetti e Q $\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \implies n \text{ è quadrato perfetto}$ Fai lemma della divisibilità fra due numeri Lemma: Dati $m,n,l$ tali che $MCD(m,l)=1$ e $l | m n$ allora allora $l | n$ Questo si risolve con ragionamenti sui fattori di m e n. Per dimostrare che è razionale la radice di solamente una radice perfetta parto da un numero razionale, faccio certi ragionamenti e scoprirò alla fine che il numero deve essere una radice perfetta. ...

$$ x! \approx x^{x}e^{-x}\sqrt{ 2\pi x } \iff \ln x! \approx x\ln x - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) $$This proof (more like an interesting justification). is taken from page 2 of (MacKay 2003). $$ P(r \mid \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{r}}{r!} $$$$ e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\lambda}}{\lambda!} \approx \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \lambda }} \implies \lambda! \approx \lambda^{\lambda}e^{-\lambda}\sqrt{ 2\pi \lambda } $$ Which finishes the derivation of the approximation. Approximation of the binomial A quick derivation with the Stirling’s approximation gives a nice approximation for log of the binomials ...