Notes

Algoritmo del simplesso Ricerca della direzione migliore Ricerca dello step Pseudocodice Slide B sono gli indici di partenza, poi questi vengono aggiornati In riga 5 vado a checkare se ho direzioni di crescita possibili, se è tutto positivo non ne ho. in riga 6, si sceglie il più piccol per evitare loop. L’idea in generale va in questo modo Cerco di trovare il duale e confrontarlo con la x attuale Se sono uguali, allora ho trovato l’ottimo ed esco Altrimenti cerco una direzione di crescita che sia anche ammissibile Continuo fino a trovare un vertice, se ho il vertice allora mi muovo lì e riapplico, altrimenti è illimitata, se non esiste un vertice. Correttezza Slide ...

Spire Spira quadrata Questo è descritto nell’esempio 8.1 del Mazzoldi. È stato descritto anche in un esercizio in classe (non è importante). Spira circolare Vedere pagina 245 Vogliamo cercare il valore del campo sull’asse della spira circolare. Questo è semplice, basta usare la prima di Laplace e trovare l’apporto del campo magnetico al centro. Si può anche pensare come momento magnetico, allora si utilizza sempre lo stesso discorso per la spira quadrata classica e il suo momento. ...

3.1 Introduzione e definizione Si definisce applicazione lineare una funzione (omomorfica) che preserva la struttura dello spazio vettoriale, ossia vale che $$ f:V \to W, \text{ tale che } \\ f(u + v) = f(u) +f(v)\\, f(\lambda v) = \lambda f(v) $$ Vengono mantenute alcune caratteristiche principali. In modo simile si possono definire omomorfismi per tutte le altre strutture algebriche, la cosa importante è che lo spazio d’arrivo possieda ancora tutte le stesse operazioni. ...

2.1 Basi 2.1.1 Definizione Un insieme di vettori $v_1,...,v_n$ sono basi di uno spazio vettoriale $V$ se sono soddisfatte queste proprietà $V = \langle v_1,...,v_n\rangle$ $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti Dalla proprietà 2 potremmo anche dire che è il minimo insieme di vettori necessario per avere questa base. Finitamente generato Se l’insieme dei vettori nella base è finito allora posso dire che è finitamente generato Ma possiamo trovare anche spazi che non sono finitamente generati come $\R[x]$ che non hanno un numero finito di basi (perché dipende dal grado dei polinomi che può essere infinito). ...

Nozioni da avere prima di Cambio di Base Applicazioni lineari La definizione di applicazione lineare La matrice associata L’esistenza e unicità di una applicazione lineare rispetto a una base Le coordinate di un punto rispetto a una base. Matrice del Cambio di Base Se ho due spazi vettoriali Intuizione in $R$ Le coordinate dei punti in $R$ sono uguali a $V$ per le basi canoniche, ma questo vale solamente per $R$, ora vogliamo andare a dire una cosa più forte, il cambio di base Poi sarà importantissimo questa nozione, applicazione di base in ML è Principal Component Analysis. Se ho una applicazione lineare $F: V \to W$ e un insieme di basi del dominio e del codominio, allora esiste una matrice $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$ tali che vale il cambio di base. ...

4.1 Sistemi lineari La cosa buona è che possiamo analizzare il sistema lineare utilizzando tutti i teoremi che abbiamo sviluppato finora, quindi siamo molto più potenti per attaccare questo problema. Definiamo un sistema lineare così $Ax = b$ con A la matrice associata. 4.1.1 Preimmagine Data una applicazione lineare $F:V \to W$, allora la controimmagine è l’insieme dei vettori di V che fanno a finire in quel punto, in matematichese: ...

Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti, quindi potresti saltarla totalmente Equazioni lineari L’obiettivo dell’algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a definire meglio cosa è una equazione lineare Definizione Una equazione lineare è una equazione a coefficienti appartenenti a un certo campo (che può essere R) e incognite il cui grado è 1 e che siano indipendenti: ...

Algebra modulare Assunzioni Andiamo ora ad assumere l’esistenza e correttezza di alcune cose di base. (in teoria si possono dimostrare da cose più di base, ma non ho tempo). Teorema fondamentale dell’algebra Ogni numero intero si fattorizza in modo unico. Algoritmo di Euclide La conseguenza più importante di questo teorema, dovuto ad Euclide è che se ho $a, b \in \mathbb{Z}$ allora esistono resto e dividendo fra i due. Ossia $\exists q, p : a\mid b = qk + p$ per qualche $k$ intero ...

Ultima modifica: September 18, 2022 9:43 AM Primo Abbozzo: September 16, 2022 9:52 AM Studi Personali: Yes Elementi di ripasso Measure Theory Introduzione Requirements of the measure function Vorremmo cercare di estendere il concetto di misurabilità a gruppi molto più ampi di un singolo intervallo, vorrei creare una funzione che sia in grado di misurare degli insiemi. *su vedrà che sono impossibili). Impossibilità di questi requirements (assurdo) Costruzione dell’insieme di interesse ...

Definizione gruppo Qualunque insieme più operazione tale per cui: Esistenza dell’inverso per ogni elemento $\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G : gg^{-1} = e$ Esistenza di un elemento neutro $\exists e \in G: \forall g \in G, eg = g$ Associatività: $(gh)f = g(hf)$ Closure: $\forall g, h \in G \implies gh \in G$ Unicità dell’elemento neutro Supponiamo di avere un gruppo $G$ e due elementi neutri $e, f$ Allora abbiamo che $ae = a = af$ però se moltiplichiamo per l’inversa abbiamo che $a^{-1}ae = a^{-1}af \implies e = f$ ...