Serie

Questo è un tentativo di aggiungere un argomento che non era presente quando abbiamo fatto il corso due anni fa. Inizio la scrittura il 2024-03-03. Questo non è stato trattano nel corso, ma è importante per molte cose. Quindi introduco questo appunto.

Introduzione alle serie

Le serie infinite sono dei mostri strani perché non si comportano spesso come dovrebbero.

Definizione di convergenza

Sia data una funzione $(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$ una funzione da $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, possiamo dire che questa serie è convergente se la somma cumulativa $f_n={\sum }_{n=0}^n{a}_n$ ha un limite finito, ossia

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=c$$

con $c$ un numero reale.

Resto di serie convergenti

Sia data una serie convergente, allora $\forall \epsilon$ esiste un $N_0\in \mathbb{N}$ per cui ${\sum }_{n=N_0}^{\infty }{a}_n<\epsilon$

Intuitivamente questo lemma ci dice che la maggior parte del contributo alla somma viene fatta dalla prima parte della serie.

Dimostrazione: Sappiamo per ipotesi che

$$\forall \epsilon ,\exists N_0\in N:\forall N\ge N_0,\left|\sum _{n=1}^N{a}_n-c\right|<\epsilon$$

Questo è l'equivalente di scrivere

$$\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^N{a}_n=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=c$$

Ora consideriamo il valore $f_N={\sum }_{n=1}^N{a}_n$ e la differenza $c-f_N$, chiamiamo $b_n=c-f_n$ e possiamo mostrare che

$$0=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(c-f_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=n+1}^{\infty }{a}_i$$

Ossia abbiamo la tesi. Qualcosa di simile lo facciamo anche in Spazi di probabilita per calcolo di up and down, ma non mi ricordo esattamente come si chiamano. La nota sul resto, solitamente ci permette di ricondurci a un caso discreto per le serie convergenti, e diventa quindi utile per tornare sul discreto, molto spesso.

Cauchy Convergence

Limit Comparison Test

Siano date due Successioni $a_n$ e $b_n$ sempre positive. Allora se esiste ed è finito il limite

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=c$$

Si hanno due casi possibili per il valore di ${\sum }_{i=1}^{+\infty }{a}_n$ e di ${\sum }_{i=1}^{+\infty }{b}_n$

1. Entrambi convergono a un valore $c$
2. Entrambi divergono

Questo è abbastanza intuitivo se pensiamo che l'ipotesi ci sta dicendo che al limite le due successioni distano al massimo di un fattore reale. Se divergono, e distano di un fattore reale, anche l'altro dovrà divergere, se invece converge, anche l'altro dovrà convergere.

La dimostrazione credo passa dalla definizione di limite per successioni presente in Successioni#3.2 Limiti di successioni.

Limit definitions

Definition (Regular Limit): A sequence $(a_n)$ converges to $L$ if and only if: $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}\text{ such that }\forall n\ge N:|a_n-L|<\epsilon$

Definition (Cauchy Sequence): A sequence $(a_n)$ is Cauchy if and only if: $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}\text{ such that }\forall m,n\ge N:|a_m-a_n|<\epsilon$

Equivalence of limit definitions

A sequence $(a_n)$ in $\mathbb{R}$ converges if and only if it is Cauchy.

Proof: ($\Rightarrow$) First, let's prove that convergent implies Cauchy:

1. Suppose $(a_n)$ converges to $L$. Let $\epsilon >0$ be given.

2. By the definition of convergence, there exists $N\in \mathbb{N}$ such that: $|a_n-L|<\frac{\epsilon }{2}\text{ for all }n\ge N$

3. Then for any $m,n\ge N$:

$$\begin{array}{rl}|a_m-a_n|& =|a_m-L+L-a_n|\\ & \le |a_m-L|+|L-a_n|\text{ (triangle inequality)}\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\\ & =\epsilon \end{array}$$

4. Therefore, $(a_n)$ is Cauchy.

($\Leftarrow$) Now, let's prove that Cauchy implies convergent:

1. Suppose $(a_n)$ is Cauchy. We need to show it converges.

2. By definition of Cauchy, for $\epsilon =1$, there exists $N_1$ such that: $|a_m-a_n|<1\text{ for all }m,n\ge N_1$

3. This means that for all $n\ge N_1$: $|a_n|\le |a_{N_1}|+1$ So the sequence is bounded.

4. By the Bolzano-Weierstrass theorem, $(a_n)$ has a convergent subsequence $(a_{n_k})$. Let's say it converges to $L$.

5. Now, let $\epsilon >0$ be given. Choose $N$ large enough so that:

   • $|a_m-a_n|<\frac{\epsilon }{2}$ for all $m,n\ge N$ (Cauchy property)
   • $|a_{n_k}-L|<\frac{\epsilon }{2}$ for all $n_k\ge N$ (subsequence convergence)

6. Then for any $n\ge N$:

$$\begin{array}{rl}|a_n-L|& \le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-L|\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\\ & =\epsilon \end{array}$$

where $n_k$ is chosen large enough ($\ge N$).

7. Therefore, $(a_n)$ converges to $L$.

This completes the proof. The key insight is that:

• Convergence → Cauchy is relatively straightforward using the triangle inequality
• Cauchy → Convergence requires the completeness of $\mathbb{R}$ (via Bolzano-Weierstrass)

Serie Armonica

Definizione

La serie armonica è definita come

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}$$

Questa serie è divergente, e la dimostrazione è abbastanza semplice, infatti possiamo dire che

$$\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{1}{i}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_1^n\frac{1}{x}dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln (n)=+\infty$$

Ma la parte importante è il rate di crescita della serie armonica.

Test per Serie

Ereditarietà delle proprietà

Consideriamo una successione $(x_n{)}_{n=1}^{\infty }$, e definiamo $\sum x_n=x$ vogliamo chiederci se regolarità di $x_n$ sono mantenute o meno per quanto riguarda $x$. Possiamo concludere tramite esempi semplici che non sempre è vero per quanto riguarda la derivabilità. Infatti abbiamo che

$$f_n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (3^{n}x)}{2^n}$$

Non soddisfa la proprietà, perché questa serie converge assolutamente tramite l'osservazione che $f_n\le \frac{1}{2^n}$, per questo esempio specifico, possiamo dire che la serie converge grazie al bound, ma se facciamo la derivata, questa diverge (che è abbastanza assurdo).

Si può fare anche l'esempio opposto, ossia possiamo definire una funzione per cui termine a termine siano integrabili, mentre nel totale non lo sono.

Convergenza Totale

Definiamo l'intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una serie di funzioni $f_n:I\to \mathbb{R}$ allora la serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n$ converge totalmente se esiste una serie di successioni ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ tali per cui 8. $\forall x\in I,n\in N:|f_n(x)|\le a_n$ 9. ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge. Queste due condizioni implicano che è ben definita la funzione

$$f:I\to \mathbb{R},f=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$$

Cesàro mean

Sia data una sequenza $a_n\to a$ allora la sequenza della media converge in $a$ anch'essa, in formule abbiamo:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i=a$$

Dimostrazione: Se $a_n\to a$ allora abbiamo che per ogni $\epsilon$ esiste un $N$ per cui per ogni $n>N$ si avrà che $|a_n-a|\le \epsilon$.

Fissiamo un $\epsilon$, dobbiamo dimostrare che esiste un $M$ per cui per ogni $n>M$ abbiamo che

$$\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i-a\right|\le \epsilon$$

L'idea generale è che usando l'idea precedente, possiamo ignorare gli elementi da $N$ in poi perché saranno sempre abbastanza vicini alla media, mentre più facciamo salire il valore di $M$ più la parte importante perderà di valore.

Quindi mettiamo a nostra scelta un ${\epsilon }_1$ per cui la prima definizione valga, allora avremo un $N$ per cui la differenza sia minore di essa, mettiamo che $n>N$. avremo:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{n}\left|\sum _{i=N}^n(a_i-a)+\sum _{i=0}^N(a_i-a)\right|& \le \frac{1}{n}\left|(n-N){\epsilon }_1+\sum _{i=0}^N(a_i-a)\right|\\ & \le \left|\left(1-\frac{N}{n}\right){\epsilon }_1\right|+\frac{|C_N|}{n}\\ & \le {\epsilon }_1+\frac{|C_N|}{n}\\ & \le \epsilon \end{array}$$

Where we have chosen ${\epsilon }_1$ such that ${\epsilon }_1<\epsilon$ and $n>M$ with $M$ such that:

$$M\ge \frac{|C_n|}{\epsilon -{\epsilon }_1}$$

Proof of the Inverse

In questo caso abbiamo che la media di Cesàro converge come vorremmo, dobbiamo dimostrare che anche $a_n\to a$.

Dobbiamo trovare che esiste un $N$ per cui per ogni $\epsilon$ vale che:

$$|a_n-a|\le \epsilon$$ $$\begin{array}{rl}{A}_N& =\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{a}_n\\ \Rightarrow \left|A_N-L\right|& =\left|\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(a_n-L)\right|\\ & \le \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\left|a_n-L\right|\text{(Triangle inequality)}.\end{array}$$

Then it's easy to conclude.