Teoremi Base Analisi

Def: Massimo minimo relativo (locale)

Sia $x_{0} \in \mathcal{A}$ si dice punto di massimo relativo (o locale) se:

$$ \exists r > 0 : f(x) \leq f(x_{0}), \, \forall x \in \mathcal{A} \cap I_{r}(x_{0}) $$

Dove $I_{r}(x_{0}) = \left[ x_{0} -r, x_{0} + r \right]$, è un intorno

Def: Massimo minimo assoluto

Sia $x_{0} \in \mathcal{A}$ si dice punto di massimo assoluto se vale

$$ f(x) \leq f(x_{0}), \, \forall x \in \mathcal{A} $$

Fermat

6.2.1 Ipotesi

Sia data una funzione $f: \left[ a, b \right] \to \mathbb{R}$ Se abbiamo che

1. $x_{0} \in \left( a, b \right)$ è un punto di massimo o minimo relativo
2. $f$ è derivabile in $x_{0}$

Implica che $f'(x_{0}) = 0$

6.2.2 Note

Un pò intuitivamente, questo teorema ci sta dicendo che il valore della derivata in un punto di massimo oppure di minimo deve essere uguale a 0.

Bisogno fare attenzione che il punto non deve essere sugli estremi perché la derivata lì non è definita in modo sufficiente per soddisfare questo teorema.

• Dimostrazione

  Sono due casi diversi, ma con la stessa logica

  

  La permanenza del segno è una dimostrazione per assurdo implicita, perché se si pone che il limite è minore di 0 allora per la permanenza del segno per gli X presenti in quell’intorno vale che è minore o uguale a 0!

  Stessa cosa per quell’intorno.

6.3 Rolle

6.3.1 Ipotesi

• Enunciato

  

6.3.2 Note

Ricorda l’esempio della montagnola per dare l’intuizione di questo teorema

Dimostrazione

Uso Weierstrass e posso dire che la funzione deve avere tutti i valori nel massimo e nel minimo.

Ci sono due casi, entrambi minimo e massimo sono estremi o uno dei due oppure uno dei due sono dentro l’intervallo, se sono dentro posso utilizzare fermat, invece la funzione è constante nel primo caso.

6.4 Lagrange

6.4.1 Ipotesi

• Enunciato

  

6.4.2 Osservazioni

Sembra che sia una generalizzazione di Rolle, in verità è come Rolle ma con il piano cartesiano girato, in questo senso possiamo intuire che siano equivalenti, poi si può anche provare a dimostrare (da Rolle si deriva lagrange e da lagrange si può derivare rolle).

Dimostrazione

Per la dimostrazione di questo teorema si vuole in qualche modo utilizzare il teorema di Rolle, quindi sarebbe buona cosa costruirsi una funzione ausiliaria in cui si possa utilizzare il teorema di Rolle.

6.4.3 Corollario costante

• Dimostrazione

  

6.5 Cauchy

6.5.1 Ipotesi

• Enunciato

  

• Osservazione sull’ipotesi 3

  

6.5.2 Osservazioni

La dimostrazione è molto simile a Lagrange, in quanto voglio costruirmi una funzione ausiliaria che soddisfi Rolle.

6.5.3 Legame con le altre funzioni

Si può notare che nel caso in cui la seconda funzione sia uguale alla funzione identità si può trovare la funzione di Cauchy senza nessun problema, si può dire che siano equivalenti

Si può quindi dire che i due teoremi sono equivalenti a livello logico in quanto sostanzialmente mi dicono la stessa cosa, in forme diverse (seque dalla coimplicazione delle funzioni).

6.6 Monotonia funzioni

Ora si tende a correlare la crescita di una funzione al segno di una funzione.

• Enunciato

  

6.6.1 Nota

Bisogna fare attenzione alla dimostrazione inversa.

Perché non si può utilizzare il teorema di Lagrange nello stesso modo con cui si va l’implica nella prima direzione. Per la seconda direzione bisogna utilizzare un assurdo con il teorema di permanenza del segno

6.6.2 Dimostrazioni

• Freccia in giù

  

• Freccia in su

  

6.7 Lo studio di funzione

6.7.1 I passi per l’analisi:

1. Studio del dominio
2. (Facoltativo) Studio di simmetrie
3. Studio dei limiti sulle frontiere del dominio
4. Studio della monotonia