Limiti

Riguardare Successioni per avere primo attacco sui limiti

4.1 Limiti finiti al finito

4.1.1 Intorno sferico

Dato l’insieme $\mathbb{R}$ si definisce l’intorno sferico aperto di $x \in \mathbb{R}$ di raggio $r \in \mathbb{R}$ l’insieme $I_r(x) = (x -r, x + r)$ questa nozione è molto importante per definire il limite. Lo useremo subito su un punto di accumulazione

4.1.2 Punto di accumulazione

Un punto di accumulazione $x$ di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ è un punto tale per cui mi posso avvicinare in modo indefinito in quel punto. Infatti deve $\forall r > 0 \in R, \exists x_ 1 \in A : x_1 \in I_r(x) \wedge x_1 \not= x$ ossia per cui $A \cap I_r(x) \not= \varnothing$.

Ecco che se mi avvicino in modo indefinito, possiamo definire per bene il limite tra poco.

4.1.3 Accumulazione per successioni

Un punto si può definire di accumulazione per una successione $a_n$ se si ha che

$\lim_{n\to\infty} a_n = x$ con x punto di accumulazione. e $\forall n \in \mathbb{N}, a_n \not= x$

4.1.4 Limite finito

Questo è il limite finito per una funzione

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta \in\mathbb{R}: 0<|x-x_0| < \delta \implies |f(x) -y| < \epsilon $$

In pratica comunque prendo un valore vicino al valore y di limite, (quindi sto definendo la mia $\epsilon$ deve esistere sempre un $\delta$ tale che valga quella roba.

La soluzione tipica per la dimostrare di tale cosa è partire dalla tesi e scomporla, trovare che se x appartiene a un certo intervallo continuo allora possono sempre trovare un sottoinsieme di questo intervallo che sia $\delta$.

4.2 Teoremi dei limiti

4.2.1 Permanenza del segno

Se il limite positivo allora esiste un x per cui f(x) è positivo, ma lo dovresti dimostrare (dovrebbe essere ovvio considerando l’intorno di $\delta$ per cui vale $\varepsilon$

Dimostrazione permanenza del segno

Teorema dei Carabinieri

Quando una funzione si possa schiacciare all’interno di due altre funzioni ha lo stesso limite. Questo in modo intuitivo ma si potrebbe fare anche molto di più…

4.2.3 Alcuni limiti notevoli (!)

$\lim_{x\to0}\sin(x) = 1$ con i carabinieri per 0 e x $\lim_{x\to0} \cos(x) = 0$ con duplicazione e altre osservazioni $\lim_{x\to0}\dfrac{sin(x)}{x} = 1$ $\lim_{x\to0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$

Queste sono i limiti notevoli di base per trigonometriche e esponenziali (o logaritmiche) Esistono anche alcuni limiti notevoli riguardanti il confronto fra le funzioni polinomiali, esponenziali o fattoriali.

Dimostrazione perimetro e area cerchio (!)

Ti ricordi come si fa la dimostrare il valore dell’area e del perimetro del cerchio utilizzando il limite noto? Un modo semplice è integrale, ed è ciò che ogni universitario che abbia studiato un poco di analisi farebbe.

4.3 Limiti finiti all’infinito

4.3.1 Definizione

Definiamo il limite di una funzione x tende a x_0 è uguale a più o meno infinito nel caso in cui:

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \iff \forall M \in \R, \exists \delta : 0<|x-x_0| < \delta \implies f(x) >M $$

In modo simile si può dire per il limite che tende a un valore infinito negativo

4.3.2 Limiti destri e sinistri

È molto simile alla definizione normale di limite, ma solo che invece di considerare un intorno completo di x debbo avere una parte, quindi invece di $0 < \lvert x-x_0 \rvert< \delta$ ho che deve essere che $x_0 - \delta < x < x_0$ per intorni sinistri e in modo simile per intorni destri ho che $x_0 < x < x_0 + \delta$

Il resto della definizione è tutto uguale.

4.3.3 Relazione limite e l destro e l sinistro

Si potrebbe dimostrare questa proprietà:

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)= L \iff \begin{cases} \exists \displaystyle{\lim_{x \to x_0^-}f(x)}, \exists\displaystyle{\lim_{x \to x_0^+}f(x)}\\ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)}=\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)}=L \end{cases} $$

4.4 Limiti all’infinito

Si possono trovare 3 casi:

$\forall \varepsilon, \exists \delta= \delta(\varepsilon) > 0 : \forall x \in A : x > \delta$

$$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = \begin{cases} l \iff |f(x) - l| < \epsilon \ +\infty \

• \infty \end{cases} $$

4.4.1 Esercizi algebra dei limiti

4.4.2 Limiti di polinomi

Si dimostra che per limite di x tendente a x0 con la funzione lineare che è uguale a x, poi si espande questo con i teoremi di algebra dei limiti e la moltiplicazione con le costanti in modo che il limite dei polinomi sia coincidente con il limite degli addendi moltiplicazioni e simili.

Con la definizione di limite fatta in seguito si ha che tutti i polinomi sono continui nel proprio dominio naturale.

Funzione continua

Definizione

$\forall x_0 \in A, A \subseteq \mathbb{R}$ allora deve essere che $x_0 \not\in D(A)$ con $D(A)$ l’insieme dei punti di accumulazione di A.

$$ x_0 \in D(A) \implies \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) $$

con il limite definito come prima. E si scrive in questo modo $f \in C(A)$, data una funzione nello spazio di funzione $A^\mathbb{R}$

Osservazioni La continuità di una funzione è interessante perché definisce una regolarità della funzione. (anche se significa anche che possiamo tracciare la funzione senza lasciare la matita dal foglio).

4.5.2 Continuità destra e sinistra

Dalla definizione di funzione continua espansa si può dedurre che

$$ \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \begin{cases} \exists\lim_{x\to x_0} f(x) \\ \exists\lim_{x\to x_0^+} f(x),\exists\lim_{x\to x_0^-} f(x),\\ \lim_{x\to x_0^+} f(x) = \lim_{x\to x_0^-} f(x), = \lim_{x\to x_0} f(x) \end{cases} $$

4.5.3 Continuità per inverse

• Dimostrazione (non richiesta)

Non viene dimostrato ma, se è definita una funzione continua per una certa funzione, allora è continua anche la sua inversa. Per qualche motivo magico.

Questo teorema è importante per la dimostrazione della derivabilità dell’inversa (quindi per avere una base per dimostrare la derivabilità dell’inversa

Teorema degli zeri

Lemmi preliminari per THZero

Primo (dim)

• Enunciato

sia data una successione bn appartenente a $\R$ sempre positiva o sempre negativa tale che il limite di bn appartiene a $\R$ allora il limite ha lo stesso segno della successione o è nulla.

Si dimostra per assurdo ponendo il limite il contrario (si apre poi il limite e si sceglie un epsilon carino che mi porti a questa contraddizione).

Secondo (no dim)

Data una funzione da A a $\R$, prendiamo x un punto di accumulazione di A tale che f sia continua in questo punto allora. Per ogni successione xn appartenente ad A che converga a x si ha che f(xn) tende a f(x)´´

THZero

data una funzione continua in [a,b] in R allora se $f(a)f(b) < 0 \implies \exists c \in ]a,b[ : f(c) = 0$

Ossia, in modo intuitivo, dato un rettangolo tagliato da una linea, se prendo due punti nelle due parti, allora se provo a congiungere questi due punti si ha che deve tagliare la linea in almeno un punto.

DIM

$$ \lim a_n = \lim b_n = c\\ f(c) = 0 $$

Bisogna dimostrare queste due cose.

Si utilizza una divisione diadica in due parti, un algoritmo di costruzione costruttiva.(se l’algoritmo finisce è banale.

Voglio costruire due successioni, una sempre negativa una sempre positiva, entrambi devono tendere a 0, così lo trovo.

• Proprietà di queste successioni

  

Da queste proprietà ho ottenuto che entrambe le successioni sono limitate e sono crescenti o decrescenti, quindi per dimostrazione precedente esiste un limite che non conosciamo.

Una cosa molto interessare da considerare è la successione

$a_n - b_n = \dfrac{a - b}{2^{n-1}}$ che tende a 0. Poi insieme al teorema di convergenza dei limiti.

$a_n$ si può dire che è una approssimazione dal basso mentre $b_n$ è una approssimazione dall’alto

Poi utilizzando il lemma 1 e il lemma 2 si può concludere che, dato c questo limite che $f(a_n) = f(c) \leq 0$ e che $f(b_n) = f(c) \geq 0$ e quindi abbiamo dimostrato che esiste $f(c) = 0$

Costruttiva → Ho un metodo di approssimazione

Teorema degli Zeri e polinomi

Nei polinomi di grado dispari si può notare che il limite del polinomio che tende a +infinito va a +infinito, uguale il contrario, grazie al thzero si può concludere che deve avere necessariamente uno zero (si può dimostrare anche la continuità di questo! È algebra dei limiti)

Ogni polinomio di gradi dispari ha almeno una radice Reale.

Weierstrass e Valore intermedio

Weierstrass (Estremi finiti)

Studia il concetto di punto di massimo o minimo assoluto. In particolare dice che esistono quei due punti per funzioni:

1. Dominio limitato e chiuso
2. Funzione continua

Sia data una $f: \left[ a, b \right] \to \mathbb{R}$ tale per cui sia continua. Allora esistono massimo e minimo globale per la funzione. Ossia:

$$ \exists x_{0} \in \left[ a, b \right] : f(x) \leq f(x_{0}), \forall x \in \left[ a, b \right] $$

E stessa cosa per il minimo.

La dimostrazione non è data. Ma è una proprietà che molti direbbero che sia intuitivamente vera. Andare a dimostrarla si entrerebbero in tecnicismi inutili secondo me. Nel caso puoi sempre approfondirla nella pagina wikipedia associata.

Weierstrass riformulato

Quello che dice in più è che l’immagine della funzione coincide con il massimo e minimo assoluto.

Si dovrebbe dimostrare con Weiestrass di prima e thzeri.

$\forall y \in codominio, \text{considero } g(x) = f(x) - y$ e poi utilizzo il teorema degli zeri per dire che esiste un x per cui $g(x) = 0 \iff f(x) = y$ e quindi ho trovato un x per cui vale.

Teorema del valore intermedio

Questo è anche chiamato intermediate value theorem. Lo abbiamo utilizzato per dimostrare qualcosa di molto breve su

La dimostrazione è equivalente a Weierstrass riformulato.