Verita, Teorie, modelli, connotazione, denotazione

Questa è una necessità per stabilire il significato di una sintassi definiti.

5.1 Verità e Realtà

La verità ha solamente senso quando lo si relaziona con un mondo sensibile, ossia il mondo che si può percepire con i nostri sensi.

5.1.1 Verità parametrica e assoluta

Se un esperimento è ripetibile all’interno del mondo sensibili allora questa è considerata come una verità parametrica, ossia dipende da uno stato del mondo sensibile.

verità assoluta come le costanti della fisica.

5.1.2 Scienze pure e scienze molli

La differenza fra queste due è che le scienze pure non stanno parlando del mondo sensibile, ma crea un mondo a sé, astratto, in cui ha senso tutto ciò che viene detto riguardo a questo mondo preciso. Anche l’informatica è teorica.

Ma cosa è la verità senza il mondo sensibile? L’esempio che abbiamo fatto prima non funziona più.

Le scienze molli descrivono la realtà sensibile mentre le scienze pure descrivono un mondo astratto inesistente nella realtà. (quindi fisica non è pura, secondo questo).

5.1.3 Teoria matematica

È come una storia descritta prima: insieme di sentenze,connotazioni.

1. Enti primitivi di un mondo
2. Assiomi che valgono in certi mondi

5.1.4 Modello matematico

Interpretare i concetti primitivi in modo che valgano tutti gli assiomi, questo è il modello.

Quindi il modello matematico è una interpretazione degli enti primiti e edegli assiomi del mondo!

Non è definito a priori ma si dà il senso

• Esempio in classe

  Per esempio il mondo con i numeri colorati, quella relazione resta la stessa, posso colorare come mi pare, allora la prima proposizione della slide sono falsi

• Esempio teoria e modello

  

5.2 Il mondo

Il mondo è una descrizione completa delle caratteristiche e regole del mondo (quindi oggetti, leggi e simili). Ovviamente questa è solamente una descrizione ipotetica in quanto non possiamo conoscere tutto di un mondo (non conosciamo tutto nemmeno nel mondo in cui viviamo).

Un assioma è valido solamente in alcuni mondi precisi, spesso ci interessa indagare solamente quei mondi. (È utile indagare solamente un mondo in cui quel determinato assioma valga o meno.)

Il concetto di verità non ha senso come concetto a sé stante in quanto dipende dal mondo in cui la proposizione è valutata

Le teorie e i modelli matematici hanno senso solamente se interpretati in un mondo particolare. Da soli no. Una proposizione ha un concetto di verità solamente se ha poi senso all’interno del mondo.

5.2.1 Conseguenza logica

Data una teoria T(un insieme di sentenze) si dice conseguenza logica F di T quando F vale per tutti i modelli di T, ovvero in tutti i mondi in cui valgono le sentenze della teoria.

Due cose:

1. Vera per tutti i modelli T
2. Vera in tutti i mondi in cui le ipotesi G1 G2 etc è vero, ossia tutti gli assiomi sono veri.

• Miniriassunto

  Con gli assiomi sto filtrando nei mondi in cui questi assiomi siano veri, quindi prendiamo solamente mondi in cui siano veri questi assiomi, con questi assiomi e enti primitivi creiamo un mondo. Allora poi possiamo avere una semantica, un modo di interpretare che è il modello e da qua possiamo avere proposizioni e conseguenze logiche

• Detto in altri modi

  Gli assiomi creano dei sottomondi in cui esse valgono (sto filtrando sui mondi).

  F (un insieme di modelli matematici) è una conseguenza logica di T se vale in tutti i mondi in cui valgono tutte le ipotesi (assiomi) (sentenze) G1 G2 etc… di T

  Nota: più ipotesi che ho, più sto restringendo nell’insieme dei mondi, quindi avrò più conseguenze logiche, quindi diventa una cosa più interessante.

5.2.2 Equivalenza logica

Due sentenze sono dette equivalenti se sono soddisfatte esattamente dagli stessi mondi. (ossia filtrano sugli stessi mondi) (assiomi rindondanti uno con l’altro)

• Relazione di equivalenza per equivalenza logica

  Considera solamente i mondi in cui valgono

  Nel secondo caso nella slide ho come ipotesi che entrambi hanno gli stessi mondi cin cui valgono, allora è ovvio che si ha il contrario

  In modo simile si ha per il terzo caso

5.3 Valutazione della teoria

Quando è interessante?

Non ha senso chiedersi se un assioma è vero o falso, nemmeno se è giusto o falso, ha solamente senso chiedersi se è vero o falso in un mondo preciso. Vale allora la teoria di consistenza

5.3.1 Inconsistenza di una teoria

Una teoria è inconsistente quando non ammette nessun modello. (ossia non ammette nessuna interpretazione degli enti primitivi in modo che valgano tutti gli assiomi)

Si può anche dire che l’assurdo è conseguenza logica di una teoria inconsistente, quindi è tutto vero, tutto vero per assurdo!?

Ci sono troppi vincoli, quindi sto parlando di niente (ho un insieme vuoto di modelli e quindi sto parlando del vuoto) (tutto è conseguenza logica in questo caso)

Questo vale anche il contrario, però non è dimostrabile in modo semplice anche l’altra freccia.

Quindi se è falso questo, allora ho almeno un mondo in cui tutto ciò che ho è vero! Quindi che sia consistente! (e poi la cosa bella sarebbe cercare le applicazioni pratiche di queste cose)

La Logica studia la conseguenza logica! Introduzione a Logica

5.3.2 Interpretazione

Si può considerare interpretazione una funzione semantica che per ogni connotazione associa una unica denotazione, considerato un oggetto di un mondo preciso. (enti primitivi sono connotazioni di un mondo, considerati connotazioni atomiche).

La funzione di interpretazione è descritta meglio in Logica Proposizionale

Le connotazioni sono interpretate come denotazioni del mondo.

Poi ci sono funzioni del mondo e simboli del mondo.

Di solito le connotazioni composte sono ottenute da connotazioni atomiche (denotazioni del mondo) combinate tramite connettivi logici.

5.4 Connotazione denotazione

In informatica sono sintassi e semantica. Sarà ciò che mi serve per evitare l’uso meta-linguistico, invarianza per sostituzione è il primo teorema che serve per questo

5.4.1 Intuizione iniziale

In linguistica la connotazione è il significato psicologico di una parola, mentre la denotazione è la prima cosa che di solito di dà il dizionario, ossia cosa è detto effettivamente.

In breve: (→ indica il significato in informatica)

1. Connotazione: ciò che voglio comunicare, come voglio cominciare (per la logica i messaggi subliminali non sono utili) → Sintassi il modo in cui lo sto dicendo
2. Denotazione cosa è detto → Semantica ciò che voglio dire, anche considerabile come l’oggetto che viene considerato in questo mondo.

Nel caso dell’informatica l’uso metalinguistico è parlare sulle connotazioni

5.4.2 Teorema Invarianza delle denotazioni

Data un qualunque contesto (un buco di una frase) e una connotazione, se sostituita con una altra connotazione, le denotazioni delle frasi restano le stesse allora quelle due connotazioni sono equivalenti.

Possiamo utilizzare il test di invarianza per vedere se qualcosa è metalinguistico o meno.

Se due connotazioni che possiedono la stessa denotazione hanno output diversi per certi contesti allora questo fa uso metalingusitico

Fondamentale per l’uso metalinguistico

5.4.3 Connettivi logici Intro

Per maggiore precisione sui connettivi logici guardare Connettivi Logici, correttezza, variabili

Abbiamo bisogno di tenere certe cose fisse in modo da tenere un ordine generale fra i mondi. Questi sono i connettivi logici che hanno lo stesso senso ovunque.

Possono essere

Binari

Unari

0-ari

E poi quantificatori come esiste e per ogni in modo da tenere un ordine generale fra i mondi. Questi sono i connettivi logici che hanno lo stesso senso ovunque.

Possono essere

Binari

Unari

0-ari

E poi quantificatori come esiste e per ogni