Vettore potenziale

Introduzione al vettore potenziale

Definizione vettore potenziale

Possiamo sempre scrivere il campo $\vec{B}$ come

$$\vec{B}=\vec{\nabla }\times \vec{A}$$

Con un campo vettoriale a caso $\vec{A}$, vedremo che questo campo avrà qualche utilità per fare i calcoli.

Possiamo notare che soddisfa la proprietà dell campo solenoidale citato in Magnetismo, infatti

$$\vec{\nabla }\cdot \vec{B}=\vec{\nabla }\cdot (\vec{\nabla }\times \vec{A})=0$$

Perché sappiamo che la divergenza del rotore (questo operatore dico) è sempre nullo per ragioni di Cauchy, se ne parla in Divergenza e Circuitazione.

Unicità del campo

Proviamo ad analizzarlo matematicamente, ci stiamo chiedendo, è unica?

Lo è a meno di un gradiente di una funzione scalare

Definiamo

$${\vec{A}}^{\prime }=\vec{A}+\vec{\nabla }F$$

Abbiamo:

$$\vec{\nabla }\times {\vec{A}}^{\prime }=\vec{\nabla }\times \vec{A}+\vec{\nabla }\times (\vec{\nabla }F)=\vec{\nabla }\times \vec{A}+0$$

Dove il gradiente di $F$, si ricorda è vettoriale, ed è utilizzato per rappresentare un vettore qualunque, basta che esista $F$ che lo generi, che lo abbiamo in ipotesi.

Simile con il potenziale, che è una funzione definita a meno di una costante perché possiamo mettere un punto (che scegliamo noi) in un certo punto, o potenziale del sistema che sono contati in quella costante, ne parliamo in Campo elettrico. (in questo capo la nostra costante è un vettore in un certo senso :P)

Scelta del campo A

Per la divergenza abbiamo invece:

$$\vec{\nabla }\cdot {\vec{A}}^{\prime }=\vec{\nabla }\cdot (\vec{A}+\vec{\nabla }F)=\vec{\nabla }\cdot \vec{A}+{\nabla }^{2}F$$

Lo scalare $F$ lo posso scegliere io, e mi può semplificare molti conti (si dovrebbe dimostrare che questo $F$ che me lo annulli esista sempre, probabilmente è vero). Allora possiamo scegliere come il campo $A$ vettore potenziale tale per qui valnga

$$\vec{\nabla }\cdot \vec{A}=0$$

Per qualche motivo questa cosa vale solo nel caso stazionario (con $\vec{J}$ stabile).

Comodità del vettore potenziale

Ampere Max-well con vettore potenziale

Abbiamo quindi

$$\vec{\nabla }\times (\vec{\nabla }\times \vec{A})={\mu }_0\vec{J}$$

Questa espressione si può semplificare tenendo conto che $a\times b\times c=b(a\cdot c)-(a\cdot b)c$ Da cui abbiamo:

$$\vec{\nabla }\cdot (\vec{\nabla }\cdot \vec{A})-(\vec{\nabla }\cdot \vec{\nabla })\vec{A}={\mu }_0\vec{J}$$

Utilizzando l'approssimazione sopra presente abbiamo ancora un laplaciano per rappresentare questa legge, in modo simile a quanto presente al differenziale potenziale per la quantità di carica.

$${\nabla }^2\vec{A}=-{\mu }_0\vec{J}$$

Possiamo notare che $A$ ha la stessa direzione della corrente! seguendo la soluzione dell'equazione di Poisson per campo elettrico abbiamo che

$$A(x,y,z)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{\Sigma }\frac{J(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}$$

Se applichiamo questo su un filo allora diventa in un certo senso:

$$\vec{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\vec{J}d\Sigma dl}{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{idl}{r}$$

Quindi quantità di corrente lungo un certo tratto di filo!

Faraday con vettore potenziale

$$\vec{\nabla }\times \vec{E}=-\frac{\delta \vec{B}}{\delta t}=\frac{\delta (\vec{\nabla }\times \vec{A})}{\delta t}$$

E abbiamo:

$$\vec{\nabla }\times \left(\vec{E}+\frac{\delta \vec{A}}{\delta t}\right)=0$$

Quindi abbiamo che vale:

$$\vec{E}=-\frac{\delta A}{\delta t}⟹\vec{\nabla }V=\frac{\delta A}{\delta t}$$

Circuitazione del vettore potenziale

Consideriamo il flusso del vettore su una superficie

$${\int }_{\Sigma }\vec{B}{\hat{u}}_{n}ds={\int }_{\Sigma }\vec{\nabla }\times \vec{A}{\hat{u}}_{n}ds={\int }_{\Gamma (\Sigma )}\vec{A}\cdot d\vec{l}$$

Dove l'ultima vale per Stokes in Divergenza e Circuitazione, quindi possiamo calcolare il flusso su un campo andando a considerare la circuitazione del potenziale vettore!

Esempi di applicazione

Studio del vettore potenziale in un solenoide

Possiamo poi scoprire che

$$\vec{A}=B\frac{r}{2}{\hat{u}}_c$$

Quando $r$ è minore del raggio del solenoide, se è maggiore abbiamo

$$\vec{A}=B\frac{R^2}{2r}\hat{u}$$