Multi-variable derivative # To the people that are not used to matrix derivatives (like me) it could be useful to see how ∂ u ∂ u T S u = 2 S u First, we note that if you derive with respect to some matrix, the output will be of the same dimension of that matrix. That notation…
This note briefly states and proves one of the most famous inequalities in geometry/analysis. Theorem Statement # Given 2 n real numbers (you can see these two also as n dimensional vectors), such as x 1 , … , x n and y 1 , … , y n then we have that ( i = 1 ∑ n x i y…
3.1 Introduzione e definizione # Si definisce applicazione lineare una funzione (omomorfica) che preserva la struttura dello spazio vettoriale, ossia vale che f : V → W , tale che f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) , f ( λ v ) = λ f ( v ) Vengono mantenute alcune caratteristiche…
Ha senso solamente parlare di autovettori quando si ha una applicazione lineare con stesso dominio e stesso codominio. Vorremmo trovare una buona matrice che sia diagonale. 6.1 Diagonalizzabilità # 6.1.1 Definizione per funzione e matrice # Questo perché vorrei una base in cui…
2.1 Basi # 2.1.1 Definizione # Un insieme di vettori v 1 , ... , v n sono basi di uno spazio vettoriale V se sono soddisfatte queste proprietà V = ⟨ v 1 , ... , v n ⟩ v 1 , ... , v n sono linearmente indipendenti Dalla proprietà 2 potremmo anche dire che è il minimo…
Nozioni da avere prima di Cambio di Base # Applicazioni lineari La definizione di applicazione lineare La matrice associata L'esistenza e unicità di una applicazione lineare rispetto a una base Le coordinate di un punto rispetto a una base. Matrice del Cambio di Base # Se ho due…
4.1 Sistemi lineari # La cosa buona è che possiamo analizzare il sistema lineare utilizzando tutti i teoremi che abbiamo sviluppato finora, quindi siamo molto più potenti per attaccare questo problema. Definiamo un sistema lineare così A x = b con A la matrice associata. 4.1.1…
This set of notes tries to fix what I haven't learned in 2021 course in algebra. It's about inner product spaces. A good online reference on the topic is wilkinson . Definitions # Inner product space # We define the vector space V to be a inner product space, if we define a…
Tutta sta parte si fa in modo formale in Sistemi Lineari e determinanti , quindi potresti saltarla totalmente Equazioni lineari # L'obiettivo dell'algebra lineare è risolvere n equazioni con n sconosciuti di primo grado. Cosa che ci riesce con grandissimo successo! Andiamo ora a…
Spazi vettoriali # 1.1 Piano cartesiano # 1.1.1 Definizione # Possiamo considerare il piano cartesiano come l'insieme R 2 potremmo dire che esiste una corrispondenza fra una coordinata e un punto del piano, una volta che abbiamo definito un punto di origine. Si può vedere anche…