Dipolo elettrico

Questo problema è stato trattato in modo un po' più semplificato (nel caso in cui la carica era esattamente a metà in Campo elettrico#Dipolo elettrico). Questo problema è stato storico, utilizzato per analizzare l'atomo.

Potenziale del dipolo elettrico

Per il principio di sovrapposizione possiamo affermare che

$$V(P)=V_{r^{+}}+V_{r^{-}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r^{+}}-\frac{1}{r^{-}}\right)$$

Ora possiamo fare certe approssimazioni, supponendo che $r\gg a$ con $r$ la congiungente fra il centro del dipolo e il nostro punto e $a$ la distanza fra le cariche, possiamo affermare che

$$r^{+}-r^{-}=-a\cos \theta$$

Sappiamo che l'angolo è lo stesso (più o meno), perché sappiamo che i due reggi sono ora paralleli (come assunsione di semplificazione) Inoltre abbiamo che $r^{+}{r}^{-}=r^2$ perché il punto è molto lontano allora possiamo affermare che

$$\left(\frac{1}{r^{+}}-\frac{1}{r^{-}}\right)=\frac{a\cos \theta }{r^2}$$

a

$$V(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qa\cos \theta }{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P\cos \theta }{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{P}\cdot \hat{r}}{r^2}$$

1. Direttamente proporzionale al momento di tipolo
2. Inversamente proporzionale al quadrato del raggio.

Campo elettrico nel dipolo

Abbiamo che è uguale a

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\vec{P}\cdot \frac{\hat{r}}{r^3}$$

Per trovare questo basta calcolare

$$\vec{E}=-\vec{\nabla }V$$

Componente parallela

Basta osservare che

$$\vec{E}=-\vec{\nabla }V=-\frac{\delta V}{\delta x}\hat{i}-\frac{\delta V}{\delta y}\hat{j}-\frac{\delta V}{\delta z}\hat{k}$$

Sappiamo che $\vec{P}=P\hat{k}$ e $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ allora abbiamo che $\vec{P}\cdot \vec{r}=Pz$ Poi abbiamo che $z=r\cos \theta$

Una volta esplicitato abbiamo che

$$E_z=-\frac{\delta V}{\delta z}=-\frac{\delta }{\delta z}\left[\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Pz}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\right]=-\frac{P}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}+z\left(-\frac{3}{2}\right)\frac{2z}{(x^2+y^2+z^2{)}^{5/2}}\right]$$ $$=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^3}\left[\frac{3z^2}{r^2}-1\right]=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^3}\left[\frac{3r^2{\cos }^2\theta }{r^2}-1\right]=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^3}\left[3{\cos }^2\theta -1\right]$$

Nota : $E_z=E_{\parallel }$ dato che è parallela al dipolo.

Componente perpendicolare

$$E_{\perp }=\sqrt{E_x^2+E_y^2}$$

Calcoliamo $E_x$ che si può scoprire che è simmetrico rispetto $y$

$$E_x=-\frac{\delta V}{\delta x}=\frac{\delta }{\delta x}\left[\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Pz}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\right]=-\frac{Pz}{4\pi {\epsilon }_0}\left[-\frac{3}{2}\frac{2x}{r^5}\right]=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3xPz}{r^5}$$

e in modo equivalente con $y$

$$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3yPz}{r^5}$$

In questo modo otteniamo che

$$E_{\perp }=\frac{3}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Pz}{r^5}\sqrt{y^2+x^2}=\frac{3}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^5}r\sin \theta r\cos \theta =\frac{3}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^3}\sin \theta \cos \theta$$

Passaggi sopra sono giustificati perché $\sqrt{y^2+x^2}=r\sin \theta$ e anche che $z=r\cos \theta$ Che ha senso perché c'è simmetria circolare su quel piano. E vale praticamente per ogni punto nello spazio.

Analisi dei risultati (non fare)

$\theta =0$ abbiamo che $E_{\perp }=0$ e rimane solamente

$$=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2P}{r^3}$$

Quindi è positivo, il campo.

$\theta =90$ questo è il caso trattato precedentemente. Abbiamo ancora che $E_{\perp }=0$ e che

$$E_{\perp }=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{P}{r^3}$$

Che è coerente col risultato che abbiamo calcolato tempo fa.

Esercizio: In quale angolo si annulla $E_{\parallel }$ (analiticamente, basta l'angolo che annulla $3{\cos }^2\theta -1$) Che è uguale a 54.71 gradi. Domanda: perché si annulla in qu

Con coordinate polari

Vedere 58 del Mazzoldi avremo che

$$E=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}(2\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta })$$

Si può riscrivere anche il momento di dipolo in coordinate polari, e questo permette una scrittura ancora più clean, in cui risalta che è la componente radiale del momento di dipolo la parte di interesse nella relazione:

Perché possiamo riscrivere il momento di dipolo in coordinate polari e usare quello:

$$\vec{p}=p\cos \theta \hat{r}-\sin \theta \hat{\theta }$$

Se si riesce a riscriverlo in questa forma, la cosa diventa molto clean, posso trovare le componenti asse e piano mediano del dipolo subito, plug and play diciamo. Infatti avremo che $\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}(3p\cos \theta \hat{r}-\vec{p})$

Dipolo immerso in campo elettrico

NOTA: Posso assumere il valore di $\vec{E}$ come costante sulle due cariche perché tanto varia molto molto poco. Anche se non ho capito esattamente il ragionamento.

Supponiamo che la carica negativa sia posta su $\vec{r}$ quindi il sistema di riferimento è qualunque e che $r\gg a$.

Energia potenziale del dipolo

Usando esattamente il metodo trattato in Condensatori nel vuoto, basta applicare

$$U(P)=qV(\vec{r}+\vec{a})-qV(\vec{r})=q\left[V(x+a_x,y+a_y,z+a_z)-V(x,y,z)\right]$$

Si può notare che con l'assunzione $r\gg a$ è infinitesimo quindi è un differenziale di V Quindi

$$U(P)=qdV(x,y,z)$$

Applicando il teorema che

$$dV=\frac{\delta V}{\delta x}dx+\frac{\delta V}{\delta y}dy+\frac{\delta V}{\delta z}dz=\frac{\delta V}{\delta x}{a}_x+\frac{\delta V}{\delta y}{a}_y+\frac{\delta V}{\delta z}{a}_z=-E_x{a}_x-E_y{a}_y-E_z{a}_z$$

Quindi abbiamo che

$$U(P)=q(-E_x{a}_x-E_y{a}_y-E_z{a}_z)=-P_x{E}_x-P_y{E}_y-P_z{E}_z=-\vec{P}\cdot \vec{E}=-PE\cos \theta$$

Mentre 0 allora l'energia è minima (se è minima allora è stabile in meccanica poi, seguendo questa giustificazione, allora diventa stabile quando $\theta =0deg$ quindi tende a stare parallelo al campo. L'equilibrio è instabile se è diverso da 0 gradi. Stabile se è 0

Momento di dipolo

$${\vec{F}}_T=q{\vec{E}}_{+}-q{\vec{E}}_{-}=0⟺{\vec{E}}_{+}={\vec{E}}_{-}=\vec{E}$$

Per qualche motivo, il momento può essere calcolato rispetto a qualunque sistema di riferimento

$${\vec{M}}_T={\vec{r}}_{+}\times {\vec{F}}_{+}+{\vec{r}}_{-}\times {\vec{F}}_{-}={\vec{r}}_{+}\times q\vec{E}-{\vec{r}}_{-}\times q\vec{E}=({\vec{r}}_{+}-{\vec{r}}_{-})\times q\vec{E}=\vec{a}\times q\vec{E}=\vec{P}\times \vec{E}$$

Quindi abbiamo che

$$|{\vec{M}}_T|=PE\sin \theta$$

Questo è coerente con i valori di equilibrio instabile e stabile presenti per l'energia. Ossia possiamo scrivere:

$$\vec{M}=\vec{P}\times \vec{E}$$

Distribuzione di carica

Prendiamo una distribuzione di carica qualunque nello spazio, di dimensione $d$ massima

Momento di dipolo elettrico del sistema

Potenziale di sistema

Abbiamo che $\vec{r}={\vec{r}}_i+{\vec{d}}_i$, allora posso assumere che $\vec{r}$ e ${\vec{r}}_i$ siano paralleli e dire che

$$r_i=r-d_i\cos {\theta }_i=r-{\vec{d}}_i\cdot \hat{r}$$

E con questo possiamo semplificare molte cose, ma guardiamo:

$$V(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r_i}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r-{\vec{d}}_i\hat{r}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i(r+{\vec{d}}_i\hat{r})}{r^2-d_i^2}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i(r+{\vec{d}}_i\hat{r})}{r^2}$$

Per concludere definisco $\vec{P}={\sum }_{i=1}^N{q}_i{\vec{d}}_i$ questo è il momento di dipolo elettrico del sistema, perché sto semplicemente sommando il dipolo di tutte le singole cariche.

$$V(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i{\vec{d}}_i\hat{r}}{r^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}+\frac{\vec{P}\cdot \hat{r}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

Il primo di questi si chiama termine di monopolo $V_0$, mentre il secondo è il termine di dipolo $V_{DP}$. Il primo spiega Potenziale con sé stesso al centro, indipendente dalla distribuzione. Come se stessi ammassando tutta la carica in un punto e calcolando il potenziale lì. Il secondo termine mi dà informazioni del potenziale al variare della distribuzione di carica. (concettualmente dice prof. Zoccoli che questo è equivalente alla torque nei corpi rigidi, che concentri tutta la massa sull'asse per calcolare la torque)

Conseguenza importante: Anche un atomo neutro può generare un campo elettrico nello spazio, che è dato dal termine di dipolo

Monopolo vs Dipolo grandezza

Abbiamo con una approssimazione che

$$|\vec{P}|=\left|\sum _i{q}_i{\vec{d}}_i\right|\approx \left|\sum _i{q}_i\right|d=Qd$$

Se usiamo questa approssimazione allora abbiamo che

$$\frac{V_{DP}}{V_O}=\frac{Qd}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\frac{4\pi {\epsilon }_{0}r}{Q}=\frac{d}{r}\ll 1$$

Ma nel caso in cui è neutro, allora l'unico campo che c'è è il termine di dipolo! Quindi bisogna contare per avere il campo.

Termine dipolo nullo

Abbiamo che

$$Q_T=0=Q_{+}+Q_{-}=\sum _i|q_i^{+}|-\sum _i|q_i^{-}|$$

Allora abbiamo che

$$\vec{P}=\sum _i^N{q}_i{\vec{a}}_i=\sum _i^N|q_i^{+}|{\vec{d}}_i^{+}-\sum _i^N|q_i^{-}|{\vec{d}}_i^{-}$$

Simile alla media pesata di tutte le masse per la massa totale, mi trovo ora qui il centro di massa per le cariche, lo faccio per positive e negative in modo separato.

$${\vec{d}}^{+}=\frac{1}{Q}\sum _{i=1}^N|q_i^{+}|{\vec{d}}_i^{+}$$

Esattamente la stessa cosa per ${\vec{d}}^{-}$. Scritto in questo modo abbiamo che

$$\vec{P}=Q{\vec{d}}^{+}-Q{\vec{d}}^{-}=Q({\vec{d}}^{+}-{\vec{d}}^{-})=Q\vec{\delta }$$

Ossia il termine di dipolo si può riassumere come differenza del centro fra le cariche positive e negative. Se non hanno stesso centro allora ho un campo elettrico (questo è coerente col caso classico di dipolo a due cariche!). E questo è vero sempre! è anche il motivo per cui l'acqua è carica, perché ha un momento di dipolo!