Spettrometri di massa

Particelle in campi magnetici

Moto in campo magnetico uniforme

Se abbiamo una particella carica con velocità uniforme in campo magnetico uniforme, come abbiamo detto in precedenza, una forza centripeta, questo farà curvare la carica, una cosa interessante sarebbe provare a capire raggio di curvatura della nostra carica. Sotto in immagine abbiamo l'esempio di curvatura.

$$F=qvB=ma=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{m{v}^2}{qvB}=\frac{mv}{qB}=\frac{p}{qB}$$

Dove $p$ è la quantità di moto, quantità che credo sia relazionata al lavoro ed inerzia, parte di fisica 1 che non ho studiato da più di due anni. Questa stessa relazione, conoscendo il raggio può essere usata per calcolare il campo magnetico!.

Possiamo anche avere una velocità angolare!

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{vqB}{mv}=\frac{qB}{m}$$

Questo risultato si poteva anche avere osservando che $F=m\vec{\omega }\times \vec{v}$ E si noterà che il verso è opposto al campo magnetico. Quindi:

$$\vec{\omega }=-\frac{q\vec{B}}{m}$$

Ma questo vale solo classicamente, perché poi entrano in gioco irradiazioni che fanno perdere energia e anche cose relativistiche se accelero troppo.

Supponiamo ora che ci sia un certo angolo fra i due allora ho che solamente la parte normale ha forza, avrò un moto elicoidale.

Angolo generico

$$F=qv\times B=q({\vec{v}}_n+{\vec{v}}_p)\times \vec{B}=q{\vec{v}}_n\times \vec{B}$$

Passo dell'elica Vogliamo capire quale sia la distanza fra un top di elica e una altra, avremo che questo è

$$p=v_{p}T=v_p\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi m{v}_p\cos \theta }{qB}$$

Dove $v_p$ è la velocità parallela al campo magnetico, e $T$ è il periodo che è calcolato dalla velocità angolare. Il coseno serve per prendere la componente corretta credo....

Effetto Hall

Da studiare bene pagina 230 Mazzoldi. Sia dato un conduttore parallelepipedo, una piccola sottile lastra, che scorre una corrente, allora avremo una forza

$$\vec{F}=q{\vec{v}}_d\times \vec{B}$$

La forza è non-elettrostatica, chiamata forza elettromotore, simile a quello per i circuiti, lo scrivo così:

$$F=q{E}_m=q{\vec{v}}_d\times \vec{B}⟹E_m=v_{d}B$$

Questo fa accumulare carica positiva sopra, che crea un altro campo elettrico statico che prova a bilanciare. Il primo passaggio è motivato perché è come se esistesse un campo elettrico fittizio, per spostarlo su. (È un campo elettrico generato!).

Questo campo elettrico che bilancia si chiama campo elettrico di Hall. È utile per capire se i portatori di carica è negativo o positivo, forse ha una cosa storica questa cosa. Avremo che

$$\Delta V_M=E_{m}b=v_{d}Bb=b\vec{J}\times \frac{\vec{B}}{nq}=i\frac{\hat{u}}{a}\times \frac{\vec{B}}{nq}⟹\Delta V=\frac{iB}{nqa}$$

Dove $b$ è l'altezza, e $a$ è la width del nostro filo.

Questo permette di misurare il campo magnetico ed è chiamato sonda di Hall, basta misurare la differenza potenziale presente. Per esempio questo diventa molto utile quando per Magnetismo nella materia andiamo poi a misurare il campo magnetico in buchi, basta mettere questa sonda di Hall.

Spettrometri di massa

Spettrometro di massa di Thomson

Ho un coso che emette particelle in tutte le direzioni, faccio passare una zona per aumentare energia e poi campo magnetico

Abbiamo che

$$\frac{1}{2}m{v}^2=q\Delta V⟹v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}$$

Usiamo poi questo valore che ci permette di descrivere la velocità della particella prima che entrino nel campo magnetico, e otteniamo poi che, considerando l'accelerazione centripeta.

$$F=qvB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{qB}=\sqrt{2\frac{m\Delta V}{q{B}^2}}$$

Questo è uno strumento buono per separare isotopi, perché hanno una massa diversa, ma stessa carica. Posso anche definire il rapporto fra i raggi degli isotopi che è

$$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$$

Selettore di velocità

Metto in modo che ci sia un condensatore che abbia un certo campo elettrico, e anche che ci sia un campo magnetico, vorrei avere che abbiamo stesso valore, ossia

$$qE=q\vec{v}\times \vec{B}⟹E=vB$$

Nel nostro setting, questo è utile per sapere la velocità da mettere poi in uno spettrometro di massa e fargli fare un certo giro! Allora abbiamo di nuovo

$$qv{B}_0=\frac{m{v}^2}{R}⟹R=\frac{mv}{q{B}_0}=\frac{mE}{qB{B}_0}$$

Anche questo posso usarlo per separare isotopi diversi, ma la cosa bella è che questo è lineare mentre prima avevamo una radice quadrata.

Spire

Setting classico: spira rettangolare

Prendiamo un campo magnetico costante, e un rettangolo di filo indeformabile (perché ci sono forze che potrebbero deformarla), in cui c'è corrente, questo fa girare.

Il campo magnetico ha un angolo con la nostra spira. Ossia ->

$$F_4=F_3=0,F_1=F_2=0$$

Ossia la spira non trasla, perché non c'è accelerazione, non trasla il centro di massa. E questo per qualche motivo ci permette anche di usare qualunque sistema di riferimento, tanto diventerà uguale...

I due invece fanno ruotare la spira:

$$M={\vec{M}}_1+{\vec{M}}_2={\vec{r}}_1\times {\vec{F}}_1+{\vec{r}}_2{\vec{F}}_2=\frac{b}{2}\sin \theta F_1+\frac{b}{2}\sin \theta F_2=bsen\theta F=b\sin \theta iaB=i\vec{S}\times \vec{B}$$

Per i lati su e giù abbiamo stessa forza che si annulla, per altri invece abbiamo un momento ora.

Momento magnetico di spira

dal risultato precedente sembra sensato definire una nuova variabile:

$$\vec{m}=i\vec{S}$$

Il che ci permette di scrivere la relazione di sopra come

$$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$$

Che sta clean. Questo è molto simile al valore trovato per il momento nel Dipolo elettrico, in cui abbiamo il momento di dipolo.

Piccole oscillazioni

usiamo quanto scritto sopra, e valutiamo cosa succede per cose piccole:

$$|\vec{M}|=-mB\sin \theta =mB\theta =I\dot{\omega }=I\ddot{\theta }$$

E abbiamo che

$$\ddot{\theta }+{\omega }^2\theta =0$$

Questo permette di calcolare il campo magnetico, col periodo. La cosa interessante è che questo si comporta come un ago magnetico, stesso comportamento.