Introduzione alla legge di gauss
Giustificazione con angoli solidi 🟨–
$$ d\Phi = \vec{E}\cdot \vec{dS} = \lvert \vec{E} \rvert \lvert \vec{dS} \rvert \cos \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}} ds = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}d\Omega $$Il secondo passaggio è giustificabile andando su coordinate polari considerando l’angolo solido di un oggetto quindi non dovrebbe essere un problema.
$$ \Phi = \int _{\sum} \, d\Phi= \int _{\sum} \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\, d\Omega = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int _{\sum} \, d\Omega = \frac{Q}{4\pi\varepsilon} 4\pi = \frac{Q}{\varepsilon} $$
Nota il flusso dipende solamente dalla CARICA, indipendente dalla singola posizione.
Enunciato legge di Gauss (linguaggio naturale) 🟩
Il flusso attraverso qualunque superficie chiusa $\sigma$ eguaglia la somma algebrica delle cariche contenute all’interno della superficie comunque esse siano distribuite divisa per ma costante dielettrica del vuoto $\varepsilon_{0}$
(praticamente scritto in linguaggio ambiguo naturale quello che viene espresso in formule, niente di più e niente di meno).
Legge di Gauss in forma integrale 🟩
$$ \oint_{\sum} \vec{E} \, \vec{ds} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} $$E se ci sono più cariche, per principio di sovrapposizione posso sommare tutte le cariche sopra, e quindi ho $Q_{T} = \sum_{i=1}^{N}q_{i}$ questo vale per distribuzione di cariche discrete, se è continuo è leggermente diversa la cosa (per cose viste precedentemente il contributo delle cariche esterne è zero.)
Legge di Gauss e divergenza 🟩
Guarda il teorema della divergenza dimostrato più generalmente in Divergenza e Circuitazione. Flusso di campo vettoriale su superficie chiusa sigma è uguale a qualcosa sulla divergenza
$$ \oint_{\Sigma} \vec{E} \, \vec{d}s= \int_{V(\Sigma)} \vec{\nabla}\vec{E} \, dt $$In qualche modo posso dire che la densità di carica sul volume si può fare senza problemi, Sappiamo sempre per gauss che
$$ \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int _{V(\sigma)}\rho \, dt = \frac{Q_{T}}{\varepsilon_{0}} $$$$ \int _{V(\Sigma)}\vec{\nabla}\vec{E} \, dt = \int_{V(\Sigma)} \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \, dt \implies \vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} $$Legge di Gauss in forma differenziale (locale) 🟩
$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} $$$\rho$ è la densità volumetrica di carica.
Che mi da informazione sul valore del campo sul singolo punto, ossia se in quel punto c’è il campo.
Osservazione 1 È ovvio osservare che questa forma del teorema di Gauss è applicabile solo nei casi in cui la funzione è differenziabile ovunque nello spazio, cosa che non è mai detto. Se ho un punto di discontinuità, devo usare la forma integrale
Osservazione 2: questa è una forma locale perché nel caso la densità cambiasse, questa legge non può essere utilizzata, non è immediato che il campo cambi infatti, però è utile per calcolare il campo nella singola posizione.
Utilizzi della legge di Gauss
Esempio: flusso dipolo 🟩
Essendo che altre parti escono, altre entrano, il flusso totale è zero.
Questo è anche un modo per dimostrare che **non esiste nessuna linea che entra o esce dall'infinito**, andandosi quindi a trattare di induzione completa.
Metodi per calcolare il flusso 🟩
- sommo tutte le cariche che sono presenti (quanto fatto sopra)
- Uso Gauss (superficie)
- Sommo potenziali (gradiente cambiato di segno (recuperare))
Considerazioni sulla legge vs Coulomb 🟩
Questa legge di gauss è direttamente dipendente dalla Legge di Coulomb, (probabilmente quello che si vuole dire è che da una puoi derivare l’altra) e funziona solamente per il fatto che scende in modo inversamente quadrato.
Caso particolare: campo costante 🟩
$$ \oint_{\sum}\lvert \vec{E} \rvert ds \cos \theta = \lvert \vec{E} \rvert \oint_{\sum}ds\cos \theta \implies \lvert \vec{E} \rvert = \frac{Q_{T}}{\varepsilon_{0}} \frac{1}{\oint_{\sum}ds\cos \theta} $$Un aspetto particolare è che questo integrale $\oint_{\sum}ds \cos \theta$ è semplicemente l’area della superficie.