Gli argomenti della lezione 31 Ottobre sono circa da pagina 164 fino a 185 del mazzoldi.

Leggi di Ohm

Introduzione microscopica 🟩

Sappiamo che $$ \vec{J} = -n e \vec{v}_{d}

ne^{2} t \frac{\vec{E}}{m} $$ Vedi analisi della velocità di deriva col modello del 1900 in Corrente Elettrica.

Dove abbiamo utilizzato la definizione di densità di corrente e la velocità fra collisioni ed altre Questo è una motivazione per considerare la densità di corrente come se fosse nello stesso verso.

Da questo notiamo che dipende solamente dal materiale perché abbiamo $t$ che è il tempo che intercorre fra collisione uno e due, mentre $n$ è la densità di elettroni per unità di volume, anche questo dipendente dal materiale, poi $e$ ed $m$ sono costanti universali.

Possiamo rispondere a questo assumendo un parametro dipendente dal mezzo, e la regola diventa allora:

$$ \vec{J} = \sigma \vec{E} $$

Dove $\sigma$ è il tensore di conducibilità elettrica Questo si può riscrivere anche in

$$ \vec{E} = \rho \vec{J} $$

Dove $\rho$ è la resistività, e si ha $\rho = \frac{1}{\sigma}$

Nota: c’è qualcosa con i semiconduttori o cose drogate, che puoi scomporre la parte di sopra con cariche negative o positive, questa cosa è da approfondire sul libro, perché non la ho capita oggi a lezione Vedi 6.7 mazzoldi c’è scritto.

Potenza e densità elettrica 🟩–

Chiamiamo $P_{\tau}$ come la potenza per unità di volume, che ricordiamo la derivata del lavoro per il tempo. Ricordando che $P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F}ds}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$

$$ P_{\tau} = nP = n\vec{F}\cdot \vec{v}_{d} = ne\vec{v}_{d} \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \vec{E} $$

Si può riscrivere con la legge di Ohm, e abbiamo che

$$ P_{\tau} = \vec{J} \cdot \vec{E} = \sigma E^{2} = \rho J^{2} $$

Resistenza nei fili 🟩

Consideriamo un cilindro (che sarà il nostro filo) con superficie $S$ verticale e lunghezza $L$, consideriamo due lati $A$ e un lato $B$ Assumiamo di avere una batteria che crea un campo costante: Allora abbiamo:

$$ V_{A} - V_{B} = \int _{A}^{B}\vec{E} \, d\vec{l} = EL $$

Abbiamo che che

$$ I = \int \vec{J} \cdot d\vec{s} = J S \implies J = \frac{I}{S} $$

Ora usiamo la relazione fra campo elettrico e densità di corrente, e otteniamo che

$$ V_{A} - V_{B} = \rho J L = \rho L \frac{I}{S} = \frac{\rho L}{S} I = R I \implies V = RI $$

Chiamo la resistenza questo valore

$$ R = \frac{\rho L}{S} $$

Perché dipende solamente dalla geometria del filo che abbiamo preso. Possiamo definire anche lo stesso concetto per conduttori non lineari (quindi forme a piacere) Per questo si può generalizzare con

$$ R = \int _{A}^{B} \frac{\rho}{\Sigma} \, dl $$

Seguendo quanto c’è in immagine.

Quando abbiamo ai capi di un conduttore una differenza di un volt, si ottiene una corrente di un ampere, e questo è l’ampere.

Legge di Ohm della conduzione elettrica 🟨++

Vedi mazzoldi pagina 170.

$$ \sigma = \frac{ne^{2}\tau_{+}}{m_{+}} + { \frac{ne^{2}\tau_{-}}{m_{-}}} $$

È semplicemente un modello vecchio in cui andiamo a distinguere i portatori di carica negativa e positiva con delle masse diverse (e quindi velocità di deriva diversa). Per il resto resta la stessa derivazione di sopra.

La legge in question (legge di Ohm della conduzione elettrica) è:

$$ \vec{J} = \sigma \vec{E} $$

Dove la densità di corrente è relazionata al campo elettrico generato solamente da variabili fisiche riguardanti la composizione del metallo e costanti elementari come massa di portatori di carica.

Il regime stazionario 🟩

Che ha senso solo in regime stazionario ossia in cui il campo elettrico non varia, ed è costante. Un altro modo per dirlo è che in ogni punto passa sempre la stessa corrente quindi il flusso del $\vec{J}$ è 0. Ossia

$$ \oint \vec{J} d\vec{S} = 0 $$ $$ \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0 $$

Resistività e temperatura 🟨+

Intuitivamente se aumenta l’agitazione termica, aumenta la resistività perché c’è più agitazione, quindi più incontri, si ha una legge del tipo:

$$ \rho = \rho_{20}(1 + \alpha \Delta T) $$

Il grafico è piatto fino a un certo punto, poi va su in modo lineare. Nei semiconduttori il coefficiente è negativo.

Supponiamo di avere una forma cilindrica a piacere, abbiamo che $$ dP = P_{\tau} \Sigma dh

\rho J^{2} \Sigma dh = \frac{\rho i^{2}}{\Sigma}dh \implies P = \int , dP = \int _{\tau} \frac{\rho i^{2}}{\Sigma} , dh = I^{2} \int _{\tau} \frac{\rho}{\Sigma} , dh = RI^{2}

$$ integrando questo riesco a trovare la **potenza dissipata in conduttore** Si può fare anche in altro modo partendo con la potenza $$

P = \frac{dW}{dt} = \frac{Vdq}{dt} = \frac{Vidt}{dt} = VI $$

E si può scrivere anche come

$$ P = \frac{V^{2}}{R} $$

Noi paghiamo in $W = RI^{2}t$ che sono ikilowattora. il riscaldamento si chiama effetto Joule.

Legge di Ohm generalizzata 🟩

Per ogni ramo dovrei mettere la differenza di potenziale più tutte le forze elettromotrici meno tutte le cadute. Si scrive:

$$ V_{A} -V_{B} + \Sigma_{k}\varepsilon_{k} = R_{T}i $$

Questa è un caso generale della legge di Kirchhoff alle maglie descritta dopo

Potenza per unità di volume 🟩

Vedi Mazzoldi pagina 170

$$ P_{\tau} = nP = \rho J^{2} = \sigma E^{2} $$

Questo si può riscrivere come

$$ P_{\tau} = \vec{J} \cdot \vec{E} $$

L’abbiamo ricavato anche in Magnetismo parlando di Poynting, in qui possiamo relazionarlo utilizzando le equazioni di Maxwell anche col campo magnetico.

Resistori in serie e parallelo

Una cosa da notare è che saldare assieme è una altra resistenza non considerata, comunque è piccola, quindi approssimiamo che ciò che è filo non la valutiamo, è trascurabile. Una cosa importante da notare è che in questi casi è utile utilizzare resistenze di valore simile altrimenti in serie prevarrà la resistenza grossa, in quella parallela la resistenza piccola.

Serie 🟩

L’osservazione principale per spiegare questo è il fatto che la corrente che passa è la stessa Abbiamo $V_{A} - V_{B} = iR_{1}$ e $V_{B} - V_{C} = iR_{2}$

Quindi:

$$ iR_{eq} = V_{A} - V_{C} = R_{1}i + R_{2}i $$

Anche la potenza è semplicemente una cosa lineare!

Parallelo 🟩

In questo caso la differenza di potenziale è la stessa dato che $V_{A} - V_{B}$ è un valore condiviso, in questo caso la corrente si dividere in modo inversamente proporzionale alla resistenza. Quindi abbiamo

Sia $V = V_{A} - V_{B}$, allora $V = i_{1}R_{1}$ e che $V = i_{2}R_{2}$, quindi

$$ i = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} \implies \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} $$

Che è esattamente il contrario di quanto abbiamo visto nei Condensatori nel vuoto per quanto riguarda i circuiti. Riguardo la potenza si comporta bene lo stesso, seguendo questa relazione.

Generatori di FEM

Introduzione ai generatori FEM

Def forza elettromotrice 🟩

si basano sul concetto introdotto molto tempo fa:

$$ \varepsilon = \oint_{\Sigma} \vec{E} d\vec{l} $$

Ed è qualcosa che permette di scorrere la corrente per tanto tempo. Un condensatore non sarebbe buono perché si scarica. È presente nel circuito un campo elettrico che non è conservativo, diverso rispetto a quello costante che viene sentito all’interno del circuito! Dato che applicando le leggi di sopra non c’è la circuitazione nulla.

Questo è un caso in non valgono le leggi conservative che abbiamo studiato per un mese e mezzo, trattate in Campo elettrico nella sezione elettromotrice.

Derivazione forza elettromotrice 🟩-

Esiste una *piccola corrente interna del generatore* Allora il nostro generatore produrrà una forza uguale a $$ W = Pt = i^{2}(R + r) t $$ O in altro modo: $$ W = \varepsilon q = \varepsilon i t $$ Questo è valido perché $$ P = \frac{dU}{dt} = \frac{dqV}{dt} = iV $$ Quindi abbiamo una relazione sulla potenza spesa da un circuito in relazione alla variazione di differenza di potenziale elettrico.

Messi insieme queste due equazioni abbiamo:

$$ \varepsilon = (R + r) i $$

Che notiamo è lo stesso valore per la differenza di potenziale elettrico per un circuito semplice

Campo elettrico elettromotore 🟨+

Trattato a pagina 181 del Mazzoldi

Dentro ai poli il campo elettrico è opposto rispetto a quello del campo elettrico esterno! Il capo interno è il **campo elettrico elettromotore** che non è conservativo, siamo fuori dall'elettrostatica. $E^{*}$ è solamente il campo interno.

Abbiamo allora

$$ \varepsilon = \oint_{\vec{E}} d\vec{l} = \int _{A}^{B} \vec{E}_{esterno} \, d\vec{l} + \int _{B}^{A} \vec{E}_{\text{interno}}+\vec{E}_{conservativa} \, d\vec{l} $$

Il primo è elettrostatico, quindi sappiamo che rimane solamente zero (con anche il suo apporto all’interno della fem), quindi abbiamo che

$$ \varepsilon = \int _{B}^{A} \vec{E}_{\text{interno}} \, d\vec{l} $$

Quindi internamente abbiamo un campo $E = E^{*} + E_{el}$ mentre all’esterno c’è solamente il campo statico.

Misura fem 🟩

Nel caso in cui $i = 0$ è molto semplice, basta prendere la differenza di potenziale ai due capi: $V_{A} - V_{B} = \varepsilon$ e sappiamo che il campo elettrico all’interno della fem è 0 Ossia $E^{*} + E_{el} = 0$

A differenza se c’è corrente avremo dei risultati diversi.

Ramo

Definizione 🟩–

Una parte di filo, parte del circuito fra più nodi, in cui circola una certa corrente.

Prima legge di Kirchhoff ai nodi 🟩

La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nullo

La corrente che entra è uguale a quello che esce

$$ \Sigma_{k}i_{k} = 0 $$

È causa del principio di conservazione della carica, espressa alla fine in modo diverso.

Seconda legge di Kirchhoff alle maglie 🟩

La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica dei prodotti $R_{k}i_{k}$

$$ \Sigma_{k}R_{k}i_{k} = \Sigma_{k}\varepsilon_{k} $$

Questo vale solo se il ramo è chiuso, altrimenti bisogna aggiungere in RHS una componente per la differenza di potenziale in quei due punti.