10.1 Derivata parziale La derivata vuole descrivere quanto varia una funzione al variare dell’input. Ma ora siamo in più dimensioni, quindi vogliamo descrivere il variare dell’input come il variare della distanza euclidea $\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y) = \lim _{h \to 0} \dfrac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$ ovvero sto facendo variare solamente una variabile (la y in questo caso è come se fosse una costante!?) Questo è un rapporto incrementale su una direzione. ...
This set of notes tries to fix what I haven’t learned in 2021 course in algebra. It’s about inner product spaces. A good online reference on the topic is wilkinson. Definitions Inner product space We define the vector space $V$ to be a inner product space, if we define a inner product operator ($\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to R$) such that the following are valid: It is linear on both arguments: $$ \langle \alpha x_{1} + \beta x_{2}, y \rangle = \alpha \langle x_{1}, y \rangle + \beta \langle x_{2}, y \rangle $$ It is a symmetric operator: $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ It is positive definite that is we have $\forall x \in V: \langle x, x \rangle \geq 0$ with equality only if $x = \boldsymbol{0}$ An example of such operator is the classical cosine distance which is just the angle, or euclidean distance. Also all $p-\text{norms}$ are inner products. ...
In questo capitolo cerchiamo di andare oltre alla singola dimensione per l’analisi. Lo spazio $\mathbb{R}^{n}$ Possiamo definire uno spazio Rn come il prodotto cartesiano fra l’insieme R un numero di volte uguale a n $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ... \times\mathbb{R} = \mathbb{R}^n$ Allora un tipico elemento in Rn è nella forma $(x_1,...,x_n)$, questo elemento si chiama punto, mentre gli elelmenti in R che costituiscono questo elemento si chiamano componenti. Osservazione La maggior parte dei risultati che dimostro nello spazio ordinario (R3) si può dimostrare per Rn, non andiamo più nel dettaglio perché i problemi che ho in spazi maggiori sono parte di materiale per analisi 2 ...
È una branca dell’algebra lineare che ci permette di semplificare tutti i concetti. Intro dualità <img src="/images/notes/image/universita/ex-notion/Programmazione lineare/Untitled 8.png" style="width: 100%" class="center" alt="image/universita/ex-notion/Programmazione lineare/Untitled 8"> Si fa una sorta di trasposta alla matrice di A. y è pari al numero di righe di A La trasformazione al duale è molto facile, ed è abbastanza intuitiva una volta che capiamo che vogliamo andare a fare l’upper bound. Dualità asimmetrica Teorema debole di dualità Slide ...
$$ x! \approx x^{x}e^{-x}\sqrt{ 2\pi x } \iff \ln x! \approx x\ln x - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) $$This proof (more like an interesting justification). is taken from page 2 of (MacKay 2003). $$ P(r \mid \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{r}}{r!} $$$$ e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\lambda}}{\lambda!} \approx \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \lambda }} \implies \lambda! \approx \lambda^{\lambda}e^{-\lambda}\sqrt{ 2\pi \lambda } $$ Which finishes the derivation of the approximation. Approximation of the binomial A quick derivation with the Stirling’s approximation gives a nice approximation for log of the binomials ...
💡 Questa prima parte degli appunti è fortemente mancante 1.1 Insiemistica Tutta Questa prima roba di insiemistica è fatta molto meglio nel corso di logica, in particolare in questo documento Teoria assiomatica degli insiemi 1.1.1 Definizione e caratteristiche degli insiemi Definizione di Campo ordinato (operazioni fra certi insiemi, sia per la addizione, per la moltiplicazione e simili) Corpo commutativo Sono definiti somma e moltiplicazione e proprietà come commutatività, associatività, distributiva, inversi, opposti, zero e nullo ...
2.1 Necessità e caratteristiche di R 2.1.1 Radici di N non perfetti e Q $\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \implies n \text{ è quadrato perfetto}$ Fai lemma della divisibilità fra due numeri Lemma: Dati $m,n,l$ tali che $MCD(m,l)=1$ e $l | m n$ allora allora $l | n$ Questo si risolve con ragionamenti sui fattori di m e n. Per dimostrare che è razionale la radice di solamente una radice perfetta parto da un numero razionale, faccio certi ragionamenti e scoprirò alla fine che il numero deve essere una radice perfetta. ...
Def: Massimo minimo relativo (locale) $$ \exists r > 0 : f(x) \leq f(x_{0}), \, \forall x \in \mathcal{A} \cap I_{r}(x_{0}) $$ Dove $I_{r}(x_{0}) = \left[ x_{0} -r, x_{0} + r \right]$, è un intorno Def: Massimo minimo assoluto $$ f(x) \leq f(x_{0}), \, \forall x \in \mathcal{A} $$Fermat 6.2.1 Ipotesi Sia data una funzione $f: \left[ a, b \right] \to \mathbb{R}$ Se abbiamo che $x_{0} \in \left( a, b \right)$ è un punto di massimo o minimo relativo $f$ è derivabile in $x_{0}$ Implica che $f'(x_{0}) = 0$ ...
L’ottimizzazione combinatoria è un altro nome per la ricerca operativa. È uno strumento utile a prendere le decisioni migliori, fatto sta che è anche molto utile al machine learning e si potrebbe dire che ne sia una base, questa è una cosa molto buona. Ricerca operativa Questo è un campo a forte impatto economico perché prova a minimizzare i costi e massimizzare i profitti. Steps Individuazione del problema (almeno riconoscere che ci sia un problema) Raccoglimento dei dati Modellizzazione del problema Ricerca di una soluzione Analisi dei risultati della soluzione La ricerca operativa si interessa principalmente degli step 3 e 4, nonostante gli steps non sempre vengono eseguiti in maniera lineare, ma c’è un ciclo di feedback a riguardo. ...
Programmazione lineare Programmazione lineare contiene alcuni algoritmi utili per risolvere certi problemi di ottimizzazione. Introduzione Andiamo in questa sezione a definire un problema di programmazione lineare Definizione Variabili reali che saranno le variabili del nostro problema, sono in numero finito (eg. tutti in Rn) Funzione obiettivo che ci definisce il costo $f: \R^n \to \R$ Vincoli lineari che limitano il dominio delle variabili reali e li mettono in relazione fra di loro Se le variabili appartengono agli interi andiamo a parlare di programmazione lineare intera. ...