Introduzione al potenziale elettrostatico

Abbiamo studiato in dinamica che il potenziale è un concetto strettamente legato al Lavoro, ossia dalla quantità di energia necessaria per spostare un oggetto da un punto all’altro, vogliamo cercare di definire le relazioni che intercorrono nel caso della forza elettromagnetica

Rotore nullo => forza conservativa 🟩

$$ \vec{\nabla} \times \vec{F} \implies \vec{F} \text{ è una forza conservativa} $$$$ \oint_{L} \vec{F} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \,d\vec{s} $$

E se abbiamo che il rotore è nullo, allora la forza è conservativa perché per definizione è conservativa se non dipende dal percorso, e la cosa che un circuito chiuso è sufficiente per dimostrare il sopra.

Note mie che non ho ben capito: Questo si può dimostrare senza molta difficoltà se scriviamo la forza di coulomb nella forma cartesiana, alla fine facendo la derivata si dovrebbe cancellare tutto.

Forza radiale => forza conservativa 🟩

Consideriamo una qualunque forza radiale e qualunque percorso lineare Campo elettrico-1697357424843 Consideriamo il setting come in immagine, abbiamo un qualunque percorso, e una carica che crea forza in modo radiale diciamo.

Allora possiamo osservare se prendiamo un segmentino infinitesimale, ci sembrerà una scaletta, ma la forza coseno è attiva solamente in $\bar{AB} \text{ e } \bar{CD}$ questo ci permette di affermare che il lavoro (quella cosa potenziale) è solamente dipendente dalla distanza

Formula dell’energia potenziale elettrostatica 🟩

300 Proviamo in questo momento a derivare la formula per il potenziale elettrostatico, valido per praticamente ogni percorso

$$ L_{AB} = -\int _{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int _{A}^{B} \lvert \vec{F} \rvert ds \cos \theta = -\int _{A}^{B} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r_{p}^{2}} \cos \theta \, ds = -\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \int _{A}^{B} \frac{1}{r_{p}^{2}} \, dr_{p} = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}} \right) $$

(col coseno dello spazio percorso, abbiamo che il valore dipenden solamente dalla distanza, per questo motivo è semplice, un altro motivo per spiegare questo è spezzettare il percorso con zigzag infinitesimi). E dall’ultimo possiamo capire il potenziale classicamente definito

$$ U(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r} + const $$

Quindi dipende solamente dalla distanza a meno di una costante additiva. Il motivo per cui (credo) possiamo utilizzare la costante additiva è che ci basta fissare un altro punto ad hoc, fissato un altro punto, diventa allora possibile definire il potenziale o l’energia potenziale in ogni punto dello spazio prendendo quello come riferimento.

Forza elettromotrice 🟩

Spiegato in maggiore dettaglio in Leggi di Ohm, dove iniziamo a parlare di circuiti. La circuitazione per un campo elettrico è definito in modo molto simile a quello di una forza qualunque

$$ \mathbb{\varepsilon} = \oint_{L} \vec{E} \cdot d\vec{l} $$

E valgono esattamente le stesse proprietà che abbiamo dimostrato sopra riguardo al rotore.

Potenziale elettrostatico

Definizione 🟩

Questa non è una energia, si potrebbe dire che è la capacità di creare energia potenziale per singole cariche

$$ V(A) = \frac{U(A)}{q} $$

Che in un certo senso è il lavoro fatto dal campo, non dalla forza (NOTA: non è corretto dire lavoro di un campo, non credo sia un concetto ben definito).

Analisi di dimensionalità per potenziale elettrostatico 🟩

$$ V(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r} \implies \left[ V \right] = \left[ U \right] \left[ Q^{-1} \right] =\left[ M \right] \left[ L^{2} \right] \left[ T^{-2} \right] \left[ Q^{-1} \right] $$

E quindi potremmo misurare il campo elettrico anche come volt su metri, per la definizione con gli integrali

Principio di sovrapposizione per potenziale elettrostatico 🟩

L’esatto principio che abbiamo descritto in precedenza per il campo elettrico vale anche il per il potenziale elettrostatico, anzi potrebbe essere utile nel calcolo del campo elettrico stesso se possiamo derivare in un singolo punto, otteniamo il campo elettrico in quel punto.

Superfici equipotenziali 🟩

Possiamo definire delle sfere che abbiamo tutti lo stesso potenziale elettrostatico, che da un punto di vista matematico basta stessa r ma serve il concetto di angolo solito per poter caratterizzare matematicamente questo concetto.

TODO: avere superficie della sfera con angoli solidi, perché questa è l’analisi più semplice per superfici equipotenziali di singola carica

Equazione di Poisson🟩

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \vec{\nabla} \cdot (-\vec{\nabla}V) = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} $$

Quindi l’equazione di poisson è

$$ \nabla^{2} V = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} $$

Nel caso in cui non ci sia carica in un punto nello spazio abbiamo l’equazione di Laplace

$$ \nabla^{2} V = 0 $$

Per qualche motivo a me oscuro, la soluzione dell’equazione di Poisson in coordinate cartesiane è:

$$ V(x, y, z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int _{\Sigma} \frac{\rho(x', y', z')\, dx'dy'dz'}{\sqrt{ (x - x')^{2} + (y - y')^{2} + (z - z') ^{2} }} $$

Questo risulta utile per caratterizzare la soluzione dell’equazione di Poisson per il Vettore potenziale.