Introduzione al vettore potenziale
Definizione vettore potenziale 🟩
Possiamo sempre scrivere il campo $\vec{B}$ come
$$ \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} $$Con un campo vettoriale a caso $\vec{A}$, vedremo che questo campo avrà qualche utilità per fare i calcoli.
Possiamo notare che soddisfa la proprietà dell campo solenoidale citato in Magnetismo, infatti
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0 $$Perché sappiamo che la divergenza del rotore (questo operatore dico) è sempre nullo per ragioni di Cauchy, se ne parla in Divergenza e Circuitazione.
Unicità del campo 🟩
Proviamo ad analizzarlo matematicamente, ci stiamo chiedendo, è unica?
Lo è a meno di un gradiente di una funzione scalare
Definiamo
$$ \vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla}F $$Abbiamo:
$$ \vec{\nabla} \times \vec{A}' = \vec{\nabla} \times \vec{A} + \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}F) = \vec{\nabla} \times \vec{A} + 0 $$Dove il gradiente di $F$, si ricorda è vettoriale, ed è utilizzato per rappresentare un vettore qualunque, basta che esista $F$ che lo generi, che lo abbiamo in ipotesi.
Simile con il potenziale, che è una funzione definita a meno di una costante perché possiamo mettere un punto (che scegliamo noi) in un certo punto, o potenziale del sistema che sono contati in quella costante, ne parliamo in Campo elettrico. (in questo capo la nostra costante è un vettore in un certo senso :P)
Scelta del campo A 🟩
Per la divergenza abbiamo invece:
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{A}' = \vec{\nabla} \cdot(\vec{A} + \vec{\nabla}F) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A} + \nabla^{2}F $$Lo scalare $F$ lo posso scegliere io, e mi può semplificare molti conti (si dovrebbe dimostrare che questo $F$ che me lo annulli esista sempre, probabilmente è vero). Allora possiamo scegliere come il campo $A$ vettore potenziale tale per qui valnga
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0 $$Per qualche motivo questa cosa vale solo nel caso stazionario (con $\vec{J}$ stabile).
Comodità del vettore potenziale
Ampere Max-well con vettore potenziale 🟩
Abbiamo quindi
$$ \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = \mu_{0}\vec{J} $$Questa espressione si può semplificare tenendo conto che $a\times b\times c = b (a \cdot c) - (a\cdot b) c$ Da cui abbiamo:
$$ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - (\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla})\vec{A} = \mu_{0}\vec{J} $$Utilizzando l’approssimazione sopra presente abbiamo ancora un laplaciano per rappresentare questa legge, in modo simile a quanto presente al differenziale potenziale per la quantità di carica.
$$ \nabla^{2}\vec{A} = -\mu_{0}\vec{J} $$Possiamo notare che $A$ ha la stessa direzione della corrente! seguendo la soluzione dell’equazione di Poisson per campo elettrico abbiamo che
$$ A(x, y, z) = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int _{\Sigma} \frac{J(x', y', z')\, dx'dy'dz'}{\sqrt{ (x - x')^{2} + (y - y')^{2} + (z - z') ^{2} }} $$Se applichiamo questo su un filo allora diventa in un certo senso:
$$ \vec{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int \frac{\vec{J} d\Sigma \, dl}{r} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int \frac{i \, dl}{r} $$Quindi quantità di corrente lungo un certo tratto di filo!
Faraday con vettore potenziale 🟩–
$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\delta \vec{B}}{\delta t} = \frac{\delta (\vec{\nabla} \times \vec{A})}{\delta t} $$E abbiamo:
$$ \vec{\nabla} \times \left( \vec{E} + \frac{\delta \vec{A}}{\delta t} \right) = 0 $$Quindi abbiamo che vale:
$$ \vec{E} = -\frac{\delta A}{\delta t} \implies \vec{\nabla}V = \frac{\delta A}{\delta t} $$Circuitazione del vettore potenziale 🟩
Consideriamo il flusso del vettore su una superficie
$$ \int_{\Sigma} \vec{B} \hat{u}_{n} \, ds = \int_{\Sigma} \vec{\nabla} \times \vec{A} \hat{u}_{n} \, ds = \int_{\Gamma(\Sigma)} \vec{A} \cdot\, d\vec{l} $$Dove l’ultima vale per Stokes in Divergenza e Circuitazione, quindi possiamo calcolare il flusso su un campo andando a considerare la circuitazione del potenziale vettore!
Esempi di applicazione
Studio del vettore potenziale in un solenoide 🟩
Possiamo poi scoprire che
$$ \vec{A} = B \frac{r}{2} \hat{u}_{c} $$Quando $r$ è minore del raggio del solenoide, se è maggiore abbiamo
$$ \vec{A} = B \frac{R^{2}}{2r} \hat{u} $$