Questo è un tentativo di aggiungere un argomento che non era presente quando abbiamo fatto il corso due anni fa. Inizio la scrittura il 2024-03-03. Questo non è stato trattano nel corso, ma è importante per molte cose. Quindi introduco questo appunto.
Introduzione alle serie
Le serie infinite sono dei mostri strani perché non si comportano spesso come dovrebbero.
Definizione di convergenza
$$ \lim_{ n \to \infty } f_{n} = c $$con $c$ un numero reale.
Resto di serie convergenti
Sia data una serie convergente, allora $\forall \varepsilon$ esiste un $N_{0} \in \mathbb{N}$ per cui $\sum_{n = N_{0}}^{\infty} a_{n} < \varepsilon$
Intuitivamente questo lemma ci dice che la maggior parte del contributo alla somma viene fatta dalla prima parte della serie.
$$ \forall\varepsilon ,\exists N_{0} \in N: \forall N \geq N_{0}, \left\lvert \sum_{n=1}^{N}a_{n} - c \right\rvert < \varepsilon $$$$ \lim_{ N \to \infty } \sum_{n=1}^{N} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = c $$$$ 0 = \lim_{ n \to \infty } b_{n} =\lim_{ n \to \infty } (c - f_{n}) = \lim_{ n \to \infty } \sum_{i= n + 1}^{\infty} a_{i} $$Ossia abbiamo la tesi. Qualcosa di simile lo facciamo anche in Spazi di probabilita per calcolo di up and down, ma non mi ricordo esattamente come si chiamano. La nota sul resto, solitamente ci permette di ricondurci a un caso discreto per le serie convergenti, e diventa quindi utile per tornare sul discreto, molto spesso.
Cauchy Convergence
Limit Comparison Test
$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} = c $$Si hanno due casi possibili per il valore di $\sum_{i=1}^{+\infty}a_{n}$ e di $\sum_{i=1}^{+\infty}b_{n}$
- Entrambi convergono a un valore $c$
- Entrambi divergono
Questo è abbastanza intuitivo se pensiamo che l’ipotesi ci sta dicendo che al limite le due successioni distano al massimo di un fattore reale. Se divergono, e distano di un fattore reale, anche l’altro dovrà divergere, se invece converge, anche l’altro dovrà convergere.
La dimostrazione credo passa dalla definizione di limite per successioni presente in Successioni#3.2 Limiti di successioni.
Limit definitions
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } \forall n \geq N: |a_n - L| < \varepsilon$$$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } \forall m,n \geq N: |a_m - a_n| < \varepsilon$$Equivalence of limit definitions
A sequence $(a_n)$ in $\mathbb{R}$ converges if and only if it is Cauchy.
Proof: ($\Rightarrow$) First, let’s prove that convergent implies Cauchy:
-
Suppose $(a_n)$ converges to $L$. Let $\varepsilon > 0$ be given.
- $$|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{2} \text{ for all } n \geq N$$
-
Then for any $m,n \geq N$:
$$ \begin{align*} |a_m - a_n| &= |a_m - L + L - a_n| \ &\leq |a_m - L| + |L - a_n| \text{ (triangle inequality)} \ &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \ &= \varepsilon \end{align*}
$$
- Therefore, $(a_n)$ is Cauchy.
($\Leftarrow$) Now, let’s prove that Cauchy implies convergent:
-
Suppose $(a_n)$ is Cauchy. We need to show it converges.
- $$|a_m - a_n| < 1 \text{ for all } m,n \geq N_1$$
-
$$|a_n| \leq |a_{N_1}| + 1$$
So the sequence is bounded.
-
By the Bolzano-Weierstrass theorem, $(a_n)$ has a convergent subsequence $(a_{n_k})$. Let’s say it converges to $L$.
-
Now, let $\varepsilon > 0$ be given. Choose $N$ large enough so that:
- $|a_m - a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$ for all $m,n \geq N$ (Cauchy property)
- $|a_{n_k} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$ for all $n_k \geq N$ (subsequence convergence)
-
$$
\begin{align*}
|a_n - L| &\leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - L| \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
&= \varepsilon
\end{align*}
$$
where $n_k$ is chosen large enough ($\geq N$).
-
Therefore, $(a_n)$ converges to $L$.
This completes the proof. The key insight is that:
- Convergence → Cauchy is relatively straightforward using the triangle inequality
- Cauchy → Convergence requires the completeness of $\mathbb{R}$ (via Bolzano-Weierstrass)
Serie Armonica
Definizione
$$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $$$$ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i} = \lim_{ n \to \infty } \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i} \geq \lim_{ n \to \infty } \int _{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{ n \to \infty } \ln(n) = +\infty $$Ma la parte importante è il rate di crescita della serie armonica.
Test per Serie
Ereditarietà delle proprietÃ
$$ f_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(3^{n}x)}{2^{n}} $$Non soddisfa la proprietà , perché questa serie converge assolutamente tramite l’osservazione che $f_{n} \leq \frac{1}{2^{n}}$, per questo esempio specifico, possiamo dire che la serie converge grazie al bound, ma se facciamo la derivata, questa diverge (che è abbastanza assurdo).
Si può fare anche l’esempio opposto, ossia possiamo definire una funzione per cui termine a termine siano integrabili, mentre nel totale non lo sono.
Convergenza Totale
$$ f: I \to \mathbb{R}, f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) $$Cesà ro mean
Sia data una sequenza $a_{n} \to a$ allora la sequenza della media converge in $a$ anch’essa, in formule abbiamo:
$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i} = a $$Dimostrazione: Se $a_{n} \to a$ allora abbiamo che per ogni $\varepsilon$ esiste un $N$ per cui per ogni $n > N$ si avrà che $\lvert a_{n} - a \rvert \leq \varepsilon$.
$$ \left\lvert \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - a \right\rvert \leq \varepsilon $$L’idea generale è che usando l’idea precedente, possiamo ignorare gli elementi da $N$ in poi perché saranno sempre abbastanza vicini alla media, mentre più facciamo salire il valore di $M$ più la parte importante perderà di valore.
Quindi mettiamo a nostra scelta un $\varepsilon_{1}$ per cui la prima definizione valga, allora avremo un $N$ per cui la differenza sia minore di essa, mettiamo che $n > N$. avremo:
$$ \begin{align} \frac{1}{n}\left\lvert \sum_{i = N}^{n} (a_{i} - a) + \sum_{i = 0}^{N}(a_{i} - a) \right\rvert &\leq \frac{1}{n} \left\lvert (n - N)\varepsilon_{1} + \sum_{i = 0}^{N}(a_{i} - a) \right\rvert \ &\leq \left\lvert \left( 1 - \frac{N}{n} \right)\varepsilon_{1} \right\rvert + \frac{ \lvert C_{N} \rvert }{n} \ &\leq \varepsilon_{1}+ \frac{ \lvert C_{N} \rvert }{n} \
$$ Where we have chosen $\varepsilon_{1}$ such that $\varepsilon_{1} < \varepsilon$ and $n > M$ with $M$ such that: $$M \geq \frac{\lvert C_{n} \rvert }{\varepsilon - \varepsilon_{1}} $$
Proof of the Inverse
In questo caso abbiamo che la media di Cesà ro converge come vorremmo, dobbiamo dimostrare che anche $a_{n}\to a$.
$$ \lvert a_{n} - a \rvert \leq \varepsilon $$$$ \begin{align*} A_N &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n \\ \Rightarrow \left| A_N - L \right| &= \left| \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (a_n - L) \right| \\ &\leq \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \left| a_n - L \right| \quad \text{(Triangle inequality)}. \end{align*} $$Then it’s easy to conclude.