Questo è un tentativo di aggiungere un argomento che non era presente quando abbiamo fatto il corso due anni fa. Inizio la scrittura il 2024-03-03. Questo non è stato trattano nel corso, ma è importante per molte cose. Quindi introduco questo appunto.
Introduzione alle serie
Le serie infinite sono dei mostri strani perché non si comportano spesso come dovrebbero.
Definizione di convergenza
Sia data una funzione $(a_{n})_{n=0}^{\infty}$ una funzione da $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, possiamo dire che questa serie è convergente se la somma cumulativa $f_{n} = \sum_{n = 0}^{n} a_{n}$ ha un limite finito, ossia
$$ \lim_{ n \to \infty } f_{n} = c $$con $c$ un numero reale.
Resto di serie convergenti
Sia data una serie convergente, allora $\forall \varepsilon$ esiste un $N_{0} \in \mathbb{N}$ per cui $\sum_{n = N_{0}}^{\infty} a_{n} < \varepsilon$
Intuitivamente questo lemma ci dice che la maggior parte del contributo alla somma viene fatta dalla prima parte della serie.
Dimostrazione: Sappiamo per ipotesi che
$$ \forall\varepsilon ,\exists N_{0} \in N: \forall N \geq N_{0}, \left\lvert \sum_{n=1}^{N}a_{n} - c \right\rvert < \varepsilon $$Questo è l’equivalente di scrivere
$$ \lim_{ N \to \infty } \sum_{n=1}^{N} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = c $$Ora consideriamo il valore $f_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n}$ e la differenza $c - f_{N}$, chiamiamo $b_{n} = c - f_{n}$ e possiamo mostrare che
$$ 0 = \lim_{ n \to \infty } b_{n} =\lim_{ n \to \infty } (c - f_{n}) = \lim_{ n \to \infty } \sum_{i= n + 1}^{\infty} a_{i} $$Ossia abbiamo la tesi. Qualcosa di simile lo facciamo anche in Spazi di probabilita per calcolo di up and down, ma non mi ricordo esattamente come si chiamano. La nota sul resto, solitamente ci permette di ricondurci a un caso discreto per le serie convergenti, e diventa quindi utile per tornare sul discreto, molto spesso.
Limit Comparison Test
Siano date due Successioni $a_{n}$ e $b_{n}$ sempre positive. Allora se esiste ed è finito il limite
$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} = c $$Si hanno due casi possibili per il valore di $\sum_{i=1}^{+\infty}a_{n}$ e di $\sum_{i=1}^{+\infty}b_{n}$
- Entrambi convergono a un valore $c$
- Entrambi divergono
Questo è abbastanza intuitivo se pensiamo che l’ipotesi ci sta dicendo che al limite le due successioni distano al massimo di un fattore reale. Se divergono, e distano di un fattore reale, anche l’altro dovrà divergere, se invece converge, anche l’altro dovrà convergere.
La dimostrazione credo passa dalla definizione di limite per successioni presente in Successioni#3.2 Limiti di successioni.
Serie Armonica
Definizione
La serie armonica è definita come
$$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $$Questa serie è divergente, e la dimostrazione è abbastanza semplice, infatti possiamo dire che
$$ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i} = \lim_{ n \to \infty } \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i} \geq \lim_{ n \to \infty } \int _{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{ n \to \infty } \ln(n) = +\infty $$Ma la parte importante è il rate di crescita della serie armonica.
Test per Serie
Ereditarietà delle proprietÃ
Consideriamo una successione $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$, e definiamo $\sum x_{n} = x$ vogliamo chiederci se regolarità di $x_{n}$ sono mantenute o meno per quanto riguarda $x$. Possiamo concludere tramite esempi semplici che non sempre è vero per quanto riguarda la derivabilità . Infatti abbiamo che
$$ f_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(3^{n}x)}{2^{n}} $$Non soddisfa la proprietà , perché questa serie converge assolutamente tramite l’osservazione che $f_{n} \leq \frac{1}{2^{n}}$, per questo esempio specifico, possiamo dire che la serie converge grazie al bound, ma se facciamo la derivata, questa diverge (che è abbastanza assurdo).
Si può fare anche l’esempio opposto, ossia possiamo definire una funzione per cui termine a termine siano integrabili, mentre nel totale non lo sono.
Convergenza Totale
Definiamo l’intervallo $I \subseteq \mathbb{R}$ e una serie di funzioni $f_{n} : I \to \mathbb{R}$ allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ converge totalmente se esiste una serie di successioni $\left\{ a_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ tali per cui
- $\forall x \in I, n \in N:\lvert f_{n}(x) \rvert \leq a_{n}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge. Queste due condizioni implicano che è ben definita la funzione $$ f: I \to \mathbb{R}, f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) $$
Cesà ro mean
Sia data una sequenza $a_{n} \to a$ allora la sequenza della media converge in $a$ anch’essa, in formule abbiamo:
$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i} = a $$Dimostrazione: Se $a_{n} \to a$ allora abbiamo che per ogni $\varepsilon$ esiste un $N$ per cui per ogni $n > N$ si avrà che $\lvert a_{n} - a \rvert \leq \varepsilon$.
Fissiamo un $\varepsilon$, dobbiamo dimostrare che esiste un $M$ per cui per ogni $n > M$ abbiamo che
$$ \left\lvert \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - a \right\rvert \leq \varepsilon $$L’idea generale è che usando l’idea precedente, possiamo ignorare gli elementi da $N$ in poi perché saranno sempre abbastanza vicini alla media, mentre più facciamo salire il valore di $M$ più la parte importante perderà di valore.
Quindi mettiamo a nostra scelta un $\varepsilon_{1}$ per cui la prima definizione valga, allora avremo un $N$ per cui la differenza sia minore di essa, mettiamo che $n > N$. avremo:
$$ \begin{align} \frac{1}{n}\left\lvert \sum_{i = N}^{n} (a_{i} - a) + \sum_{i = 0}^{N}(a_{i} - a) \right\rvert &\leq \frac{1}{n} \left\lvert (n - N)\varepsilon_{1} + \sum_{i = 0}^{N}(a_{i} - a) \right\rvert \ &\leq \left\lvert \left( 1 - \frac{N}{n} \right)\varepsilon_{1} \right\rvert + \frac{ \lvert C_{N} \rvert }{n} \ &\leq \varepsilon_{1}+ \frac{ \lvert C_{N} \rvert }{n} \
&\leq \varepsilon \end{align}
$$ Where we have chosen $\varepsilon_{1}$ such that $\varepsilon_{1} < \varepsilon$ and $n > M$ with $M$ such that: $$M \geq \frac{\lvert C_{n} \rvert }{\varepsilon - \varepsilon_{1}} $$
Proof of the Inverse
In questo caso abbiamo che la media di Cesà ro converge come vorremmo, dobbiamo dimostrare che anche $a_{n}\to a$.
Dobbiamo trovare che esiste un $N$ per cui per ogni $\varepsilon$ vale che:
$$ \lvert a_{n} - a \rvert \leq \varepsilon $$ $$ \begin{align*} A_N &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n \\ \Rightarrow \left| A_N - L \right| &= \left| \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (a_n - L) \right| \\ &\leq \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \left| a_n - L \right| \quad \text{(Triangle inequality)}. \end{align*} $$Then it’s easy to conclude.